WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Hoe moet je iets bewijzen dat waar is?

Bijvoorbeeld: Als je van een even getal een oneven getal aftrekt dat kleiner is dan het even getal, dan is de uitkomst een oneven getal. deze stelling klopt, maar moet je dan om te bewijzen dat het klopt eerst 10.00 voorbeelden gaan geven. Dat moet toch makkelijker kunnen. Kunnen jullie me helpen?

Groetjes van Anna
Anna W
Leerling bovenbouw vmbo - zondag 28 mei 2006

Antwoord

Beste Anna,

Bewijzen is erg belangrijk in de wiskunde. Het vinden van 1000 voorbeelden die voldoen aan een stelling geldt niet als 'bewijs'. Dit is gemakkelijk te illustreren aan de hand van een analogie.

Stel je bent bioloog en je wil de kleur van pinguins nagaan. Je komt een zwarte pinguin tegen. Nu mag je nog 999 zwarte pinguins tegenkomen, je kan niet met zekerheid zeggen dat er geen andere pinguins bestaan.
Aan de andere kant: stel dat je één tegenvoorbeeld vindt (bijvoorbeeld een witte pinguin), dan kan je wél met zekerheid stellen dat 'niet alle pinguins zwart' zijn.

Terug naar de wiskunde: veel voorbeelden aanhalen volstaat niet om een stelling te bewijzen, maar één tegenvoorbeeld volstaat wel om het te ontkrachten.

Via de eerste link vind je nog wat uitleg en een extra link waar je een overzicht vindt van verschillende soorten bewijzen.

Nu jouw probleem. Als n een geheel getal voorstelt, dan is 2n altijd even. Elk even getal kan je dus in de vorm '2n' krijgen, met n geheel. Op dezelfde manier is elk oneven getal van de vorm 2n+1, opnieuw met n een geheel getal.

Voor de duidelijkheid zal ik verschillende letters nemen. Laten we nu een even getal nemen, 2m, en een oneven getal, 2n+1 waarbij 2m 2n+1 zodat (2m)-(2n+1) zeker positief is, zoals je wou. We herschrijven dan:

(2m)-(2n+1) = 2m-2n-1 = 2m-2n-2+1 = 2(m-n-1)+1

Maar die m-n-1 is terug een geheel getal en kan ik bijvoorbeeld 'p' noemen. Dan vinden we dus een getal van de vorm 2p+1 en dat is altijd oneven.

Je kan zelf om te oefenen bijvoorbeeld proberen aan te tonen dat het product van twee oneven getallen steeds oneven is. Of het product van een even getal met een oneven getal steeds even, je verzint maar wat

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 1 juni 2006