WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Het drie deuren probleem

Ik heb een vraag uit een boek 'kop of munt' en ik zal even letterlijk citeren wat hier in staat:

In een land geregeerd door een despoot bevindt zich een gevangenis met daarin drie gevangenen, A, B en C. Op een dag besluit de despoot dat de volgende ohctend een van de gevangenen zal worden verbannen, terwijl de twee anderen zullen worden vrijgelaten. Hij deelt zijn besluit mee en de naam van de ongelukkige, aan de cipier. Deze laatste mag echter de tot verbanning veroordeelde niet van zijn rampspoed op de hoogte brengen.

Op de vooravond van de verbanning raakt de cipier in gesprek met gevangene A. Hij vertelt hem dat de volgende dag één van de drie gevangenen wordt verbannen en dat de anderen hun vrijheid zullen herkrijgen. Na de eerste schrik wordt A nieuwsgierig, maar de cipier wil hem niet vertellen wie het slachtoffer wordt. Dan zegt A: 'Noem me dan ten minste de naam van een van mijn medegevangenen, B of C, die wordt vrijgelaten' Na enig nadenken beseft de cipier dat na zijn antwoord A niet kan weten of hij zelf verbannen wordt. Hij zegt dus: 'B zal worden vrijgelaten'

Hierbij moet woren opgemerkt dat de cipier geen persoonlijke voorkeur toont, dat wil zeggen= in geval dat zowel B als C zullen worden vrijgelaten, noemt hij met gelijke waarschijnlijkheid een van beiden.

Hoe groot is nu de kans dat A zal worden verbannen? Ook hier kan men weer denken dat het antwoord 50% is. Immers, A of C zal worden verbannen. Het juiste antwoord is echter weer 1/3. Voor de informatie die de cipier geeft is de kans dat A wordt verbannen vanzelfsprekend 1/3.

Nu dient men te beseffen dat de cipier met zijn uitspraak slechts schijnbaar enige informatie aan A geeft. In werkelijkheid kan hij altijd de naam van B of C noemen als vrij te laten persoon en A kan ook weten dat hij in antwoord op zijn verzoek ten minste de naam zal krijgen van óf B, óf C, een van de twee medegevangenen. Deze informatie is in feite geen nieuwe informatie. A kan derhalve geen nieuwe conclusie trekken en zijn kans blijft daarom gewoon 1/3.

Ok... dit snapte ik nog maar...

We begrijpen nu ook de ontsteltenis van C, die stiekem meegeluisterd heeft: zijn kans om verbannen te worden wordt plotselingverdubbeld tot 2/3. C krijgt wél nieuwe informatie van de cipier omdat de oorspronkelijke kans van 2/3 dat hetzij B hetzij C wordt verbannen, door de bekendmaking va nde vrijlating van B plotseling geheel wordt toegekend aan de verbanning van C.

Ik dacht zelf dus ook in eerste instantie hetzelfde als in het antwoord hierboven, maar dit schijnt dus niet te kloppen... kan iemand helpen?
Moniqu
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 25 mei 2006

Antwoord

Op http://homepage2.nifty.com/hashimoto-t/try/prison-e.html staat het probleem iets compacter geformuleerd. Dat scheelt misschien al. Als je nu 'wordt verbannen' ziet als 'de hoofdprijs' de gevangenen als 'deuren'. De cipier als 'spelleider' dan zie je misschien in dat je hier te maken met het driedeurenprobleem.

Op de genoemde website kan je ook nog wel een wiskundige onderbouwing vinden. Dat is altijd erg prettig, want dan weet je 't tenminste zeker.... Maar of dat helpt?

Je zou je hier dan afvragen: Zou A met C moeten willen ruilen? Het antwoord is natuurlijk nee!
Zie Three Prisoners Problem

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 25 mei 2006