WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Vectoren en coördinaten

Hoi!

Gevraagd is: Pienter wil naar de overkant van een rivier met een breedte van 100 m zwemmen. De stroomsnelheid van de rivier is 0.5 m/s en Pienters relatieve zwemsnelheid is 1.5 m/s. Omdat hij loodrecht wil oversteken, zwemt hij onder een hoek van 75° met de kant stroomopwaarts. Toch komt hij voorbij zijn doel aan. Hoeveel meter verder komt hij aan en hoeveel tijd had hij hiervoor nodig?

Oplossing: We kiezen de x-as gelijk met de benedenrand van de rivier en de y-as door het punt P' waar Pienter zou willen aankomen. We ontbinden dan de vector z, die Pienters zwemsnelheid weergeeft, in zijn componenten langs de x-as en de y-as: z= z_...x * E_...x + z_...y * E_...y met z_...x = 1.5 cos 75° 0.388
en z_...y = 1.5 sin 75° 1.449

De ontbinding van de stroomsnelheid s in zijn componenten langs de x-as en de y-as is: s= -0.5E_...x.

De snelheid waarmee Pienter werkelijk vooruit gaat, wordt weergegeven door de som van de vectoren z en s:

v=z+s= (1.5cos75° - 0.5)E_...x + 1.5 sin 75° E_...y = -0.112 E_...x + 1.449 E_...y.

De grootte van de snelheid is dus ||v|| = Ö((-0.112)² + 1.449²) 1.453

We berekenen dan de hoek tussen v en E_...y: cos (v,E_...y= 1.449/1.453 dus de grootte van de hoek tussen v en E_...y is 4°24'40'' 7.714

De lengte van de overtocht is |OP|= Ö(100²+7.714²) 100.297

De tijd nodig om de rivier over te zwemmen is (100.297m)/1.453 m/s = 69s

Antwoord: Pienter komt bijna 8 m voorbij zijn doel aan en had hiervoor 69 s nodig.

Nu is de volgende vraag; onder welke hoek moet Pienter zwemmen als hij wel recht tegenover zijn vertrekplaats wil aankomen?

Ik weet niet goed hoe hieraan te beginnen, alvast bedankt voor de hulp.
Elke
3de graad ASO - zaterdag 4 februari 2006

Antwoord

Beste Elke,

De uitwerking ziet er redelijk goed uit, misschien wat onnodig afgerond hier en daar maar het klopt allemaal als we dat buiten beschouwing laten.

Om rechtdoor te zwemmen moet hij onder een hoek a zwemmen zondanig dat de component van de stroomsnelheid net wordt tegengewerkt, nu was die namelijk te klein (1.5cos(75°) 0.388 kan 0.5 niet compenseren).

Je zoekt dus de hoek die dit net wel kan: 1.5cos(a) = 0.5
Oplossen naar a levert de gewenste hoek, dit zal ongeveer 70.5° zijn.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 4 februari 2006