WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Doordenkertje...

Als we sommen bekijken van de vorm
1+1/2+1/3+1/4+....+1/n voor natuurlijke waarden van n.
We kunnen bewijzen dat deze sommen oneindig groot kunnen worden en dat de sommen 'dicht' bij ln(n) aanleunen.

Maar kunnen we ooit een geheel getal > 1 bereiken?
Andros
Iets anders - woensdag 11 september 2002

Antwoord

Hoi,

De reeks bereikt enkel 1 en daarna nooit meer een geheel getal...

Voor een zekere n>1 is u(n)=1+1/2+...+1/n te schrijven als ($\sum$N/i)/N met N=kgv(1,2,...,n).
Neem de maximale k waarvoor 2^k$\leq$n. Omdat n>1 zal k>0.
Dan moet 2^k|N en niet 2^k+1|N. Daarom zal N/i geheel zijn en altijd een factor 2 bevatten, tenzij bij i=2^k.
Dit betekent dat $\sum$N/i oneven is en N even, zodat u(n) nooit geheel kan zijn.

Groetjes,
Johan

andros

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 21 oktober 2002