WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Hoe te bewijzen?

Hallo,
van mijn wiskundeleerkracht heb ik verschillende stellingen gekregen om te bewijzen. Jammer genoeg ben ik daar niet erg goed in. Ik weet dat een bewijs bestaat uit een gegeven, gevraagd en een bewijs zelf. En daar zit nu juist het probleem: Hoe weet ik met wat ik iets moet bewijzen? Met vectoren, congruentie, ...
Hebben jullie enkele tips?
Kunnen jullie me helpen met de volgende oefening:

Gegeven is een vierhoek ABCD waarvan de diagonalen AC en BD elkaar loodrecht snijden. Bewijs dat de lijnstukken die de middens van 2 overstaande zijden met elkaar verbinden, dezelfde lengte hebben.

Bedankt!
kirste
3de graad ASO - dinsdag 10 september 2002

Antwoord

Bij het leren bewijzen van stellingen is er niet zomaar een universeel startpunt te geven dat steeds succesvol is. Was het maar waar!
Niet zelden komen er allerlei slimmigheidjes om de hoek kijken waarvan je denkt: hoe verzint iemand het?
Het trekken van de juiste hulplijn is bijvoorbeeld zo'n geval. Weet je eenmaal dat je nou net die ene lijn moet trekken, dan vraag je je vertwijfeld af waarom je zélf niet op die gedachte kon komen. Er zijn nou eenmaal mensen die er een soort feeling voor hebben, en daar kun je soms best jaloers op zijn.

In het algemeen zul je in een bewijs al eerder bewezen feiten gebruiken, en het is dan natuurlijk noodzakelijk dat je precies weet welke die bekende feiten zijn.
Bovendien moet je in een meetkundig bewijs proberen afstand te nemen van hetgeen je in een tekening ziet, al kan een tekening wel inspireren tot een bepaalde denkroute. En dat niet misbruiken van een tekening is vooral in het begin knap lastig.
Bewijzen is toch vooral een kwestie van veel doen en, niet onbelangrijk, reeds gemaakte bewijzen net zo lang voor jezelf inoefenen dat je elke stap echt snapt. Je zult dan na enige tijd merken dat een aantal steeds terugkeert, en die kun je dan op den duur misschien zelf ook gebruiken.

Nu wat je vraag over de vierhoek aangaat.
Als je de middens van de overstaande zijden resp. P, Q, R en S noemt (P op AB en Q op BC enz.), dan ontstaat er een vierhoek PQRS waarbij PQ en RS allebei gelijk zijn aan de helft van diagonaal AC én bovendien zijn ze evenwijdig met die diagonaal.
Hier wordt dus gebruikt dat, als je in een driehoek de middens van twee zijden verbindt, het verbindingslijnstuk evenwijdig is aan de derde zijde en qua lengte de helft is. Je zult dit vermoedelijk geleerd hebben in het kader van het begrip middenparallel.

Op precies dezelfde wijze zijn PS en QR evenlang en evenwijdig met BD.

Maar omdat AC loodrecht staat op BD staan nu PQ en SP óók loodrecht op elkaar.
Kortom: PQRS is een rechthoek (hetgeen in een net plaatje wel te zien zal zijn) en in een rechthoek zijn de diagonalen even lang.

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 10 september 2002