WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Aantrekkingskracht

Ik ben opzoek naar de zwaartekracht in een (hemel)lichaam.

Een aantal dingen weet ik:

De aantrekkingskracht is: a₁=F/m1=G·m2/r²
(a is de acceleratie, m2 is de massa van het hemellichaam, G is een gravitatieconstantem r is de straal van het lichaam)

Een bolvolume is: V=4· $\pi$ ·r³/3
(V is volume, r is de straal)

Een bolsegmentvolume is: S√(h)=(h²· $\pi$ /3)·(3·r-h)
(SV is het SegmentVolume, h is hier de huidigeafstand vanaf het middelpunt)

Een dichtheidsformule: m=V·D
(m is de massa, V is het Volume, D is de dichtheid)

Nu kan ik het al volgt doen:

Ik heb een afstand h vanaf het middelpunt.
Dus heb ik een massa boven(naar oppervlakte) en een massa beneden(naar centrum).
De massa boven weet ik: m(h)=S√(h)·D
De massa beneden weet ik ook m(rest)=V-m(h)

- uiteindelijk hoef ik me alleen maar bezig te houden met de volume verdeling -

Het massamiddelpunt(a) van m(h) is al lastig want:
Formule(1)
S√(h)=2·S√(a)

Het massa middelpunt(b) van het onderste gedeelte is nog erger:

deel 1)Even splitsen, in massa middelpunt(c) van een halve bol:
Formule(2)
¹/₂·V=2·S√(c)
2· $\pi$ ·r³/3 = 2·(c²· $\pi$ /3)·(3·r-c)
als is stel:
c=p·r en c²=q·r² (dus q=p²)
dan streep ik de hele boel weg en hou over:
q·(3-p)=1 -p³+3·p²-1=0
met een numerieke methode: p(n+1)=√(1/(3-p(n)))
krijg ik: p$\approx$0.652704..

deel 2) en een massamiddelpunt(d) van het middengedeelte:
Formule(3)
- geen idee -

Ter illustratie:
(------c------|m|--d--|h|--a--)
m=middelpunt
h=huidige afstand
a=Massamiddelpunt boven
c=Massamiddelpunt halve bol
d=Massamiddelpunt middengedeelte

Het zwaartepunt(z) ligt in iedergeval op

a·S√(a) -c·S√(c) + d·S√(d)
z= --------------------------
V

Zeer waarschijnlijk is dit alleen met één of meerdere integralen oplosbaar, maar ik weet niet waar ik beginnen moet; of er is gewoon een standaard formule voor.

Ik hoop dat u me kunt helpen hiermee,
Marchello
Marche
Leerling mbo - maandag 9 september 2002

Antwoord

Hoi,

Leg de oorsprong o in het punt waar je de versnelling wil berekenen en trek een willekeurig vlak door o en het centrum van het hemellichaam. De X-as ligt in dit vlak en gaat door het centrum van het hemellichaam, de Y-as zetten we er loodrecht op en in ditzelfde vlak.
Je hemellichaam is een cirkel C1 met centrum (h,0) en straal r. Teken ook een tweede cirkel C2 met centrum (-h,0) en straal r. Alle effecten van massa van het hemellichaam die buiten C1/C2 ligt, worden gecompenseerd. We moeten dus enkel het zwaartepunt van C1/C2 bepalen. Wegens symmetrie is het duidelijk dat dit zwaartepunt g op de X-as zal liggen.

De cirkels hebben volgende vergelijkingen
C1: y²+(x-h)²=R²
C2: y²+(x+h)²=R²

We hebben:
g = $\int{}$xdm/$\int{}$dm

Als elementaire dm nemen we bol-schijfjes op afstand x van de oorsprong. Zodat: dm = D.A(x).dx. Voor x tussen 0 en R-h hebben we: A(x) = $\pi$.(y₁²-y₂²) en voor x tussen R-h en R+h: A(x) = $\pi$.y₁².

Dus:
g = ($\int{}$x.$\pi$(y₁²-y₂²)+$\int{}$x.$\pi$y₁²)/($\int{}\pi$(y₁²-y₂²)+$\int{}\pi$y₁²)

y₁ en y₂ halen we uit de vergelijkingen van de cirkels. In teller en noemer lopen de eerste integralen telkens van 0 to R-h en de tweede van R-h tot R+h. Voor de leesbaarheid liet ik telkens dx vallen...

Dit helpt je zeker op weg...

Groetjes,

Johan

andros

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 9 september 2002