WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Harmonische reeks wat is de limit?

Dit is een reactie op vraag 42481

Ik sta versteld!!

Doch ergens zegt mijn gevoel toch dat het een limit heeft en waarom ik dat denk is het volgende. Het aandeel van p (waarbij p groot is ..wordt bijna verwaarloosbaar)
bv. 1/100000001 + 1/100000002 + 1/100000003 .... +1/100000000000002+ .... Dit reeks laat zien dat het reeks convergeert en de term met p oneindig als aandeel limiet van nul heeft. Dus dit zit mij gevoelsmatig niet lekker. Ook al ben ik het wel eens met de wiskundige afleiding van u.
Of maak ik ergens een gedachtefout dat ik denk dat het gewone functie een limiet heeft maar de betreffende primitieve functie dus niet!?

Trouwens nog een ander vraag hoe kan ik exact de som van de harmonische reeks f(x)= 1/x ( waarbij de sommatie loopt van bv 1 tot 20 waarbij x een element is van natuurlijke gehele getallen).
dus 1/1 + 1/2 + 1/3 + .... 1/20 =
???
ben benieuwd?!

John
Student universiteit - woensdag 28 december 2005

Antwoord

Even voor de goede orde:
De reeks die op de wetenschapsquiz aan de orde kwam: 1/2+1/6+/18... is 1/2(1+1/2+1/3+....). Ik ga verder uit van de reeks: 1+1/2+1/3+...+1/n.

Je verwarring heeft waarschijnlijk te maken met het volgende:
je moet goed onderscheid maken tussen rijen en reeksen:
1,1/2,1/3,1/4,1/5.... is een rij.
1+1/2+1/3+1/4+1/5+... is een reeks.
De rij 1,1/2,1/3,1/4,1/5.... convergeert met limiet nul. Maar dat wil nog niet automatisch zeggen dat de reeks: 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... convergeert. De reden is dat de termen van de rij 1,1/2,1/3,1/4,1/5.... niet snel genoeg convergeren.
Behalve door afschatten met een integraal zoals ik in het vorige antwoord heb laten zien is er in dit geval nog een andere methode om in te zien dat de reeks niet convergeert:
We gaan de afzonderlijke termen in de optelling slim groeperen:
1+(1/2+1/3)+(1/4+1/5+1/6+1/7)+(1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15)+...
Wat is de lol hiervan: stel we hebben de som uitgerekend tot en met zekere term 1/(p-1). We nemen nu de volgende p termen samen:
1/p+1/(p+1)+1/(p+2)+....+1/(2p-1) Elk van deze termen is groter dan ¹/_2p. De som van deze p termen is dan groter dan p×¹/_2p en dus groter dan 1/2.
Vervolgens beginnen we het spelletje weer vanaf 1/(2p) tot 1/(4p-1) etc.

Dan je vraag over het exacte antwoord:
In eerste instantie zou ik zeggen 1+1/2+1/3+1/4+...+1/20 is toch een exact antwoord? Maar hoe moet het dan met 1+1/2+1/3+.....+1/1000 of erger?
Op Harmonic series kun je lezen dat
H_n=$\sum$ⁿ_i=1¹/_i=$\gamma$+Y(n+1) waarbij $\gamma$ de Euler-Mascheroni constante is en Y de zogenaamde digamma functie. Klik eens lekker door op deze pagina's!
Tja, wat heb je aan zo'n antwoord:
dit eenzelfde soort antwoord als wanneer iemand vraagt: wat is het exacte antwoord van 1·2·3·4·....·20 en je antwoordt 20! waarbij n! de zogenaamde faculteit is. Hoe je dan een idee van de grootte van 1000! kunt krijgen zonder alle factoren met elkaar te vermenigvuldigen is nog niet bepaald helder.

Toch heb je wel iets aan dit antwoord:
De Euler-Mascheroni constante $\gamma$ is de limiet van het verschil tussen $\sum$ⁿ_i=1¹/_i en ln(n).
Voor grote n kun je $\sum$ⁿ_i=1¹/_i benaderen met ln(n)+$\gamma$, waarbij $\gamma$=0.577215664901533..
Een veel nauwkeuriger benadering die ook goed gaat voor kleinere n kun je krijgen met
ln(n)+0.577215664901533+1/(2·n)-1/(12·n²)+1/(120·n⁴)-1/(252·n⁶)+1/(240·n⁸)-1/(132·n¹⁰)+691/(32760·n¹²)
Probeer dat maar eens uit.
(Overigens is $\sum$ⁿ_i=1¹/_i ook gelijk aan ₀$\int{}$¹(1-xⁿ)/(1-x)dx en deze integraal kun je weer leuk numeriek benaderen)

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 28 december 2005