WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Reële ontbinding 32z^5 + 1 = 0

Beste,

Er werd gevraagd deze algebraïsche vergelijking reëel te ontbinden:
(waarmee men doelt op het wegwerken van de imaginaire termen mbv vermenigvuldiging van de overeenkomstige toegevoegde complexe termen)

V(z): 32z^5 + 1 = 0

De (5) wortels die ik vond via de goniometrische weg zijn
1/2 (cos(Õ/5) + i. sin (Õ/5))=??
1/2 (cos(3Õ/5) + i. sin (3Õ/5))=??
1/2 (cos(5Õ/5) + i. sin (5Õ/5))= -1/2
1/2 (cos(7Õ/5) + i. sin (7Õ/5))= ??
1/2 (cos(9Õ/5) + i. sin (9Õ/5))= ??

ik slaagde er niet in die cosinussen en sinussen weg te werken (behalve de 3de);

Er moet blijkbaar toch een manier bestaan om die (co)sinussen weg te werken, want de uitkomst moest zijn:

32z^5 + 1 = (2z+1)(4z²+(-1+Ö5)z+1)(4z²+(-1-Ö5)z+1)

dank bij voorbaat,

Joris

Joris
Student universiteit België - dinsdag 27 december 2005

Antwoord

Dag Joris,

Je wortels zijn correct. Merk dan op dat 9p/5 = 2p-p/5, dus die twee hoeken zijn elkaars supplement, dus:
cos(9p/5)=cos(p/5) en sin(9p/5)=-sin(p/5)
Als je deze vervangingen doorvoert krijg je een term van de vorm a+bi, en een term van de vorm a-bi, het product van die twee wordt dus inderdaad reëel. Een zelfde truc kan je toepassen met de 3 en de 7.

Om de oplossing te krijgen die je zelf voorstelt, zal je dat product van de vijf factoren (z-wortel) moeten opschrijven, dan twee keer de juiste factoren vermenigvuldigen, en dan zal je ook nog een uitdrukking nodig hebben voor cos(p/5) en voor cos(3p/5)=-sin(p/5), anders kom je nooit aan die uitdrukkingen met Ö5. (zie mathworld)

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 28 december 2005