WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Kans om geen 1 te dobbelen

Ik zou graag willen weten hoe groot de kans is dat je geen 1 gooit met dobbelstenen. En wat is de gemiddelde som dan van de dobbelstenen?

Iets concreter:
Als je zoveel mogelijk punten moet behalen, en je mag met zoveel dobbelstenen gooien als je wil. Maar als er minstens één 1 tussen zit, heb je nul punten. Anders, de som van de ogen.
hoeveel dobbelstenen moet je gooien om gemiddeld zo veel mogelijk punten te behalen?

Ik heb ooit eens gerekend in excel en kwam toen 5 dobbelstenen uit. Maar hoe bereken je dit als je excel niet hebt?
Fred V
Iets anders - dinsdag 8 november 2005

Antwoord

Dag Fred,

De kans dat je met één dobbelsteen geen 1 gooit, is duidelijk 5/6. De kans dat je met twee dobbelstenen geen 1 gooit, is de kans dat je met de eerste geen 1 gooit (=5/6) maal de kans dat je met de tweede geen 1 gooit (=5/6), dus dat is (5/6)². Algemeen is de kans dat je met k dobbelstenen geen 1 gooit, gelijk aan (5/6)^k

Je wil nu dus een zo hoog mogelijke verwachtingswaarde voor dit spel. Laat ons die verwachtingswaarde dan eens uitrekenen, voor als je gooit met k dobbelstenen.

Die verwachtingswaarde wordt gegeven door volgende formule:
E(X)=åp(x_i)x_i
Dus voor elke mogelijke situatie vermenigvuldig je de kans dat die situatie zich voordoet, met het resultaat (= som der ogen) in die situatie, en je telt al die getallen op.

Voorbeeld, met één dobbelsteen zijn de mogelijke resultaten 0,2,3,4,5,6 met telkens kans 1/6, dus de verwachtingswaarde wordt dan
0/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 = 20/6 = 10/3 = 3.3333...

Met k dobbelstenen: de kans dat je geen enkele 1 gooit is (5/6)^k, de kans dat je wel een 1 gooit (en dus resultaat = 0) is dus 1-(5/6)^k.

Als we in de situatie zitten dat we geen 1 gooien, dan is per dobbelsteen de kans even groot dat je een 2,3,4,5 of 6 gooit. Dus gemiddeld een 4. Met k dobbelstenen krijg je dus een verwachtingswaarde van 4k wanneer er geen enen bij zitten. Onze formule geeft nu:

0*(1-(5/6)^k) + (5/6)^k*4k = (5/6)^k*4k

Dit levert volgende waarden, voor k = 1 tot 10:
k E(X)
1 3.33
2 5.56
3 6.94
4 7.72
5 8.04
6 8.04
7 7.81
8 7.44
9 6.98
10 6.46

Hieruit blijkt dat inderdaad 5 dobbelstenen optimaal is, of ook 6 (geeft exact dezelfde verwachtingswaarde).

En als je echt niet wil rekenen had je dit optimum ook kunnen bepalen: een maximum wordt bereikt als de afgeleide nul is, de afgeleide van (5/6)^k*4k is:
4*(5/6)^k + 4k*ln(5/6)*(5/6)^k
= 4*(5/6)^k * (1 + k*ln(5/6))
= 0 Û 1 + k*ln(5/6) = 0
Û k = -1/ln(5/6) = 5.48
Dus dat toont aan dat het optimum ergens tussen 5 en 6 ligt, met andere woorden je moet ofwel met 5 of met 6 dobbelstenen gooien, toevallig blijken hier beide opties even goed te zijn.

Leuk vraagje

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 8 november 2005