WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

TweePunts Gauss Integratie

Geachte mensen, ik zit met een oefententamenopgave waar ik niet uit kom. Zoeken op Google, mijn diktaten, boeken en sheets en WisFAQ heeft niet geholpen. Wellicht lukt het zo!

De natuurlijke coördinaten voor een tweepunts Gauss integratie tussen -1 en 1, zijn : -1/√3 en +1/√3. De gewichtsfactoren (?) zijn 1.

Laat zien hoe de integraal _-2$\int{}$⁴ (2/3t³- t² +2t -3) dt
wordt benaderd met behulp van 2punts Gaussregel en vergelijk de uitkomst met de analytisch te bepalen waarde.
Verklaar het verschil of de overeenkomst.

1 Wat zijn de gewichtsfactoren precies? (berekenen hoeft niet)
2. Hoe transformeer ik t naar x ? (dat moet blijkbaar eerst, maar hoe werkt dat?
3. Hoe reken ik die GaussIntegraal precies uit?

(uit de integraal komt trouwens 10)

Ik zou erg blij zijn met informatie

Raymon
Student universiteit - vrijdag 4 november 2005

Antwoord

Raymond,

(Lettertechnisch heb ik even jouw x in een t gewijzigd en jouw $\zeta$ in een x)

De gewichtsfactoren geven de gewichten aan waarmee je de berekende functiewaarden moet vermenigvuldigen om de integraal te benaderen. Bij het gebruik van een tweepuntsbenadering is dat niet interessant. De gewichten zijn dan bij beide punten 1 en dat kan je dan weglaten. Bij een driepuntsbenadering zijn die gewichten niet 1 maar respectievelijk c₁=⁵/₉, c₂=⁸/₉, respectievelijk c₃=⁵/₉.
De algemene gedaante van de driepunstbenadering ziet er dan als volgt uit:
.

Nu je opgave:
De formule van Gauss werkt met integratiegrenzen -1 en 1. Omdat jij grenzen a=-2 en b=4 hebt zal je die waarden met een lineaire transformatie moeten transformeren naar respectievelijk -1 en 1. Daar het interval hierdoor een factor 3 kleiner wordt moet de functie met een factor 3 verhoogd worden.
In het algemeen volgen hieruit de volgende transformatieformules:

De integraal wordt dan algemeen als volgt omgezet:

Zodat _-2$\int{}$⁴(2/3t³-t²+2t-3)dt = _-1$\int{}$¹ 3·f(3x+1)dx = (uitwerken) _-1$\int{}$¹54x³+27x²+18x-4 dx
(nu Gauss toepassen) = 1·f(1/√3)+1·f(-1/√3) = 25,7846-15,7846=10

nb. x met grenzen -1 en 1 komt hier dus overeen met t = 3x+1 met grenzen -2 en 4.

Uiteraard kun je de integraal ook gewoon uitrekenen door eerst te primitiveren en dan komt er precies 10 uit. Opvallend is dat de benadering van Gauss ook precies op die 10 uitkomt. Maar zo opvallend is dat niet wanneer je weet dat een tweepunstbenadering van Gauss bij polynomen t/m graad 3 altijd de exacte integraalwaarde oplevert.
Helpt dit zo een beetje ?

Met vriendelijke groet
JaDeX

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 4 november 2005

Re: TweePunts Gauss Integratie