WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Evenwichtvergelijking

Een bioloog heeft zich een groot aantal jaren beziggehouden met de samenstelling in Zambi. Hij telt om de vijf jaar het aantal apen, waarbij hij de apen indeelt in vier leeftijdsklasse.
Klasse A: 0-5 jaar oud
Klasse B: 5-10 jaar oud
Klasse C: 10-15 jaar oud
Klasse D: 15 en ouder

Binnen bijf jaar sterft in klasse A 60%, in klasse B 20%, in klasse C 80% en in klasse D 20%. Alleen de apen uit klasse B en C zijn vruchtbaar. Apen uit klasse B krijgen in een periode van 5 jaar gemiddeld 0,9 nakomelingen. Apen uit klasse C krijgen in een periode van vijf jaar gemiddeld 2 nakomelingen.

Matrix
                Naar
     ..0....0,9.....2....0
Van  0,4......0.....0....0
     ..0....0,8.....0....0
     ..0......0...0,2..0,8
Een andere bioloog heeft onderzoek gedaan naar dezelfde apensoort in Mozambique. Hij vindt dezelfde geboorte- en sterftepercentages als de bioloog in Zambia. In Mozambique doet hij echter de bijzondere situatie voor dat de aantallen in de verschillende klassen steeds dezelfde zijn bij de vijfjarige telling.

a) Als er in klasse A steeds 200 apen zitten, hoeveel apen zitten er dan in de andere klassen?

Ik heb geprobeerd deze opgave te berekenen op de manier zoals jullie mij hebben uitgelegd bij een soort gelijke opgave.
Ik kom dan tot de volgende berekening:

0,9 B + 2C= 200 a=200
0,40·200=80 b=80
0,80·80=64 c=64

Maar ik weet niet hoe ik D moet bereken.
Ik weet wel dat D= 0,20C+0,80D.

b)De bioloog in Mozambique beheerst de matrixberekening en is er achter gekomen dat als hij de Lesliematrix M een flink aantal keren met zichzelf vermenigvuldigt, hij het volgende resultaat krijgt:
                 25/66......125/132......25/33......0
   M t.d.m n=     5/33.......25/33.......10/33......0
                  4/33.......10/33........8/33......0
                  4/33.......10/33........8/33......0
t.d.m= tot de macht

Wat betekent dit voor de percentage apen in de verschillende klassen bij een stabiele situatie?
Jacque
Student hbo - zondag 25 augustus 2002

Antwoord

Even een aantal opmerkingen:
Bij de eerste matrix klopt de plaatst van van en naar niet! Ben je het met me eens dat dat niet klopt?
Een tweede opmerking: ergens schrijf je 'D= 0,20C+0,80D'. Hiermee kan je D uitrekenen als je C weet!
D=0,20C+0,80D
(links en rechts 0,80D er af!)
0,20D=0,20C
D=C
Dus:
a=200
b=80
c=64
d=64
De laatste matrix (Mⁿ) zou een stabiele situatie voor moeten stellen. In dat geval zou de uiteindelijke situatie Mⁿ.A moeten zijn... vul die kolommatrix boven (200,80,64,64) maar in.. dan heb je de situatie na n jaar... hiervan kan je dan de percentages uitrekenen (indien nodig)

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 26 augustus 2002