WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Gouden piramide

The base of the pyramid is 100 blocks by 100 blocks; each successive layer is one less block wide and deep, until the top layer which is simply one block. Each block is 97 cm wide by 97 cm deep by 63 cm tall.

If one liter of paint can coat exactly three square meters, how many liters are required to coat the entire exposed surface of the pyramid? Round up to the nearest liter.

Hmm.. Ik kan er echt niet uitkomen? Help?
Daphne
Iets anders - vrijdag 2 september 2005

Antwoord

Hi Daphne,

Het zal duidelijk zijn dat je twee 'soorten' zichtbare (exposed) oppervlakken hebt: enerzijds de verticale en anderzijds de horizontale. Van elk van deze twee moet je de totale oppervlakte berekenen.

Laat ons beginnen met de verticale. Je hebt vier kanten (noord, oost, zuid, west) dus we zullen er 1 van tellen. Op de onderste laag staan 100 verticale vlakken zichtbaar, dus 100 rechthoeken van 97 bij 63. De laag daarboven: 99, en zo verder tot 1. Dus de oppervlakte van de verticale vlakken is:
4·97·63·(100+99+...+1) cm²
Als je dan nog de formule kent voor de som van de eerste n natuurlijke getallen, kan je dit berekenen.

Dan de horizontale vlakken, dat is iets moeilijker. Maak vooral eens een bovenaanzicht van bijvoorbeeld een 5·5-laag, met daarbovenop een 4·4-laag. Dan zie je dat enkel de buitenste rand zichtbaar is. Van de blokken aan deze buitenrand, maar niet op de hoeken, is juist de helft zichtbaar. Van de hoekblokken is driekwart zichtbaar. Dus hoeveel is er bijvoorbeeld zichtbaar van de onderste rij? Dat is
4·98·97·97/2 + 4·(3/4)·97·97
Verklaring van links naar rechts: er zijn 4 windrichtingen, 98 niethoekblokken per windrichting, en de helft ¹/₂ van hun oppervlakte (97·97) is zichtbaar. Daarnaast zijn er 4 hoekblokken, en 3/4 van hun oppervlakte is zichtbaar.

Nu moet je enkel nog al deze waarden optellen: je krijgt telkens
4·(n-2)·97·97/2 voor n gaande van 100 tot 2, en ook voor lagen 100 (de onderste) tot 2(de op een na bovenste) telkens 4·(3/4)·97·97. Samen dus
4·97·97/2·(98+97+...+1) + 99·(4/3)·97·97.

Merk op dat ik de bovenkant van de bovenste laag (dus 1 kant, oftewel 97·97) niet in de formule opgenomen heb omdat je dan vreemde dingen krijgt (je hebt maar 1 hoekblok meer en zo), dus neem je die er nog even bij. Alles samen uiteindelijk:
4·97·63·(100+99+...+1) + 4·97·97/2·(98+97+...+1) + 99·(4/3)·97·97 + 97·97 cm²

Nog even uitrekenen, omzetten naar m², omzetten naar liter verf en dan kan je je verf gaan kopen

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 2 september 2005

Re: Gouden piramide