WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Gemiddelde der priemgetallen

Hallo mensen van Wisfaq,

Ik zat een beetje te rommelen met priemgetallen en ik had een klein programmaatje gemaakt waarmee ik tot en met een bepaald getal alle priemgetallen kon zien.. Nu wilde ik eens kijken hoe het met de gemiddelde waarde van de priemgetallen zit in een bepaald interval en dat gedeeld door de lengte van het interval

Even wat voorbeeldjes om het wat duidelijker te maken:
Eerst heb ik t/m 100000 gekeken en kwam ik op totaal 9592 priemgetallen uit met een totale waarde van 454396537.
Vervolgens ^{(^454396537/₉₅₉₂)[}/₁₀₀₀₀₀ = 0.4737422...etc.

Vervolgens heb ik t/m 200000 gekeken en kwam ik op totaal 17984 priemgetallen uit met een totale waarde van 1709600813.
Vervolgens ^{(^1709600813/₁₇₉₈₄)[}/₂₀₀₀₀₀ = 0.475311...etc.

Uiteindelijk heb ik t/m 1000000 gekeken en kwam ik op totaal 78498 priemgetallen uit met een totale waarde van 37550404023.
Vervolgens ^{(^37550404023/₇₈₄₉₈)[}/_1000000 = 0.478361257√...etc.

Verder heb ik niet gekeken, omdat mijn programma niet echt efficient geschreven is (programmeren is niet echt mijn ding maar dat terzijde), maar ik heb het vermoeden dat het getal convergeert naar een zekere waarde. Is hier echter iets van bekend, want op het internet kan ik er weinig van vinden.

Met vriendelijke groet,
Peter
Peter
Student universiteit - woensdag 24 augustus 2005

Antwoord

Dag Peter,

Best wel een interessante eigenschap.
Je berekent dus, voor t=100000 en zo, de volgende formule:

$\sum$(p_i) / (t·$\pi$(t))
waarbij de som loopt van i=1 tot $\pi$(t), waarbij p_i het i'de priemgetal is, en waarbij $\pi$(t) de prime counting function is, die dus telt hoeveel priemgetallen er zijn kleiner dan of gelijk aan t (vb $\pi$(10)=4)

Verder hebben we volgende eigenschap:
Op deze site staat bij (2) het blijkbaar recente resultaat:
$\sum$p_i ~ ¹/₂ ($\pi$(t))² ln($\pi$(t))
als je de som weer van 1 tot $\pi$(t) laat lopen.

(NB: notatie: a(n)~b(n) betekent hier dat lim a(n)/b(n) = 1 voor n naar oneindig.)

Als we dat invullen in de formule die je berekent, dan krijgen we, althans voor grote t:
1/2 $\pi$(t) ln($\pi$(t)) / t

= ¹/₂ {$\pi$(t) / (t/ln(t))} · {ln($\pi$(t)) / ln(t)}
De limiet van de eerste factor zou 1 zijn (zie hier), dus dan blijft er nog over:
1/2 {ln($\pi$(t)) / ln(t)}

Als we dan nog eens steunen op
$\pi$(t) ~ t/ln(t)
dus ln($\pi$(t)) ~ ln(t) - ln(ln(t))
dus ln($\pi$(t)) / ln(t) ~ 1 - ln(ln(t)) / ln(t) ~ 1.

dan zou dat betekenen dat er enkel nog ¹/₂ overblijft... Dat zit aardig in de buurt van je resultaat, dus alhoewel de convergentie blijkbaar vrij traag is, denk ik toch dat ¹/₂ de limiet zal zijn.

Nu ben ik zelf ook niet in staat om dit te checken voor veel grotere getallen, en ik heb wel een tabel gevonden voor $\pi$(t) voor grote t, maar niet voor de som van de eerste $\pi$(t) priemgetallen.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 25 augustus 2005