WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Aantonen van gelijkheid

goede avond!

Ik heb wat opgaven gemaakt en zou graag willen weten of ik het een beetje goed heb gedaan.

Laat zien dat
1) (XxY=Æ)Û(X=Æ)Ú(Y=Æ)
Uitwerking:
XxY:={(x,y)|(xÎX)Ù(yÎY)}
{(x,y)|(xÎX)Ù(yÎY)}=ÆÛ(X=Æ)Ú(Y=Æ)

Laat zien als XxY¹Æ dat
2) (AxBÌXxY)Û(AÌX)Ù(BÌY)
Uitwerking:
(AxBÌXxY):="(k,p)(((k,p)Î(AxB))Þ((k,p)Î(XxY)))
AxB:={(k,p)|(kÎA)Ù(pÎB)}
XxY:={(k,p)|(kÎX)Ù(pÎY)}
Omdat (AxBÌXxY) volgt hieruit dat (AÌX)Ù(BÌY)

Laat zien als XxY¹Æ dat
3) (XxY)È(ZxY)=(XÈZ)xY
Uitwerking:
(XxY)È(ZxY):="(k,y)(((k,y)Î(XxY))Ú((k,y)Î(ZxY)))
(XÈZ):="k((kÎX)Ú(kÎZ))
(XÈZ)xY:="(k,y)(((k,y)Î(XxY))Ú((k,y)Î(ZxY)))
dus (XxY)È(ZxY)=(XÈZ)xY

Laat zien als XxY¹Æ dat
4)
(XxY)Ç(X'xY')=(XÇX')x(YÇY')
Uitwerking
(XxY)Ç(X'xY'):="(k,p)(((k,p)Î(XxY))Ù((k,p)Î(X'xY')))
dus voor (k,p) geldt: (kÎXÇX')Ù(pÎYÇY')
Dus (XxY)Ç(X'xY')=(XÇX')x(YÇY')

Ik heb mn best gedaan....

Groet
Lotte
Student hbo - donderdag 4 augustus 2005

Antwoord

Ik moet je een beetje teleurstellen.
1. Je bewijs bestaat uit het herhalen van wat bewezen moet worden; dat bewijst verder niets. De juiste vorm van zo'n bewijs is als volgt:
- stel XxY is leeg en bewijs dan dat X of Y leeg is
- stel X of Y is leeg en bewijs dan dat XxY leeg is
In dit geval kun je beter de zogeheten contrapositieve uitspraken bewijzen:
- stel X en Y zijn niet leeg, kies dan x in X en y in Y; het punt (x,y) behoort tot XxY, dus XxY is niet leeg
- stel XxY is niet leeg, kies een punt a in XxY, dat punt is van de vorm (x,y) met x in X en y in Y; we hebben een punt in X en een punt in Y gevonden, dus X en Y zijn niet leeg

2. Ook hier bestaat je bewijs uit (de helft van) wat je bewijzen moet (je hebt alleen een pijl van links naar rechts.
- de bewering is niet geheel correct: als B leeg is dan geldt wel dat AxB een deel van XxY is, maar A hoeft geen deel van X te zijn! Je moet veronderstellen dat AxB niet leeg is, dan geldt de bewering wel.
- van links naar rechts: zij a in A willekeurig, te bewijzen a zit in X. Welnu neem ook nog een b in B, dan zit (a,b) in AxB en dus in XxY. Maar dan volgt a in X. Evenzo bewijs je dat B een deel van Y is.
- van rechts naar links: zijn (x,y) in AxB willekeurig, te bewijzen (x,y) zit in XxY. Welnu er geldt x in A en y in B, dus x in X en y in Y. Maar dan volgt (x,y) in XxY.

Probeer zelf de andere twee nog eens op de bovenbeschreven manier, dat wil zeggen met uitleg in woorden (die alsof je de oplossing per brief aan iemand anders moet uitleggen).

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 24 augustus 2005