WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Taylor benadering met restterm

Ik zoek naar een oplossing voor het volgende probleem. Ik moet een 4e orde Taylor benadering maken van y= ln(x) rond x=1 , dit vormt geen probleem. Daarna bereken ik de restterm R5, welke gelijk is aan

=(1/5!) * f^5(x) * (x-1)^5
waarbij f^5 de 5e afgeleide is, in welke 'x' voor 'c' (c= getal waar de restterm rond berekend moet worden).

De volgende opdracht is "Bereken R5 (0,9) en bewijs R5 (0,9) 4 * 10^(-6)
Vanaf deze vraag loop ik vast:

A) Wat wordt hiermee bedoeld?
B) Hoe kan ik het correct uitrekenen?
R de B
Student universiteit - dinsdag 2 augustus 2005

Antwoord

Hallo,

A) De restterm R₅ in een punt 0,9 is de term die nog moet bijgeteld worden bij de vierdeorde Taylorbenadering om het exacte resultaat te kennen van ln(0,9). Natuurlijk kunnen we R₅(0,9) niet exact berekenen zonder ln(0,9) uit te rekenen. Wat we wel weten is dat er een formule is voor R_n+1(x), namelijk:
R_n+1(x) = (x-a)ⁿ⁺¹f⁽ⁿ⁺¹⁾(c_x) / (n+1)!
Waarbij die c_x gelegen is tussen a en x, en waarbij f⁽ⁿ⁺¹⁾ de n+1 ste afgeleide is van f.

In dit geval is a=1 en x=0,9 en n=4, en c_x ligt dus tussen 0,9 en 1. En de vijfde afgeleide van lnx is: 24/x⁵

We krijgen dus nu R₅(0,9) = ^{(-0,1)⁵ 24}/_{120c_x⁵}

Om die afschatting dan te bewijzen neem je de absolute waarde van het bovenstaande, en je zoekt voor welke c_x de uitdrukking maximaal is: dat is hier voor c_x=0,9 want als je deelt door een kleiner getal krijg je een groter. Op die manier komen we uiteindelijk tot
|R₅(0,9)| ^{(0,1)⁵ 24}/_{120 (0,9)⁵}
= 3.387 *10^-6

En dat is onder het gevraagde, dus je kan er zeker van zijn dat |R₅(0,9)| 4*10^-6...

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 3 augustus 2005