WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Banenformule/kettingprobleem

Dit is een reactie op vraag 36697

Hoi,

Ik heb jou oplossing gebruikt om de volgende soortgelijke vraagstuk op te lossen maar ik weet niet of ik het correct heb gedaan, de opgave luidt:
Een magische zeshoek wordt verkregen door 6 gekleurde staafjes van gelijke lengtes tot een regelmatige zeshoek te solderen.Hoeveel echt verschillende zeshoeken kan men maken als er 10 verschillende staafjes beschikbaar zijn?
Oplossing
X is de verzameling van alle 10⁶ zeshoeken.
Op X werkt de groep D6={e,r,r²,r³,r⁴,r⁵,s,sr,sr²,sr³,sr⁴,sr⁵}, met r een rotatie en s een spiegeling.Er geldt:
|Fix(r^k)|=10 (alle zeshoeken met 1 kleur), bijdrage is 5·10=50
Als je eerst roteert en dan spiegelt gaan telkens twee staven in elkaar over.Dus je hebt drie paren staven.Voor het 1e paar heb je 10 kleurmogelijkheden, voor het 2e paar heb je er ook 10 maar voor het 3e paar 9 , want anders tel je de zeshoeken van 1 kleur ook mee.Dus twee paren mogen altijd dezelfde kleur hebben.Dus |Fix(sr^k)|= 10·10·9=90.Is dit correct?
Dan is de bijdrage |Fix(sr^k)|·5=90·5=450
en |Fix(e)|=10⁶.

Groetjes,
Viky
viky
Student hbo - maandag 23 mei 2005

Antwoord

Hallo Viky,
Bij een zeshoek gaat het een beetje anders dan bij een vijfhoek.
Dat is zo omdat 6 niet een priemgetal is.
Je hebt dus een zeshoek van 6 staafjes die ieder 10 verschillende kleuren kunnen hebben.
Er zijn dus 1 000 000 mogelijke zeshoeken. maar hoeveel ervan zijn echt verschillend?
Zeshoeken die door draaien of omklappen in elkaar overgaan beschouwen we als gelijk.
De rotaties en omklappingen (spiegelingen) van de zeshoek vormen de groep G (zg dihedrale groep D6) met 12 elementen {e, r₁,r₂, . . .,r₅, s1,s2,s3, t₁,t₂,t₃} waarbij rk een rotatie over k maal 60 graden. De omklappingen zijn van twee verschillende typen: Type 1,omklapping om een lijn die de middens van twee overstaande zijden van de zeshoek verbindt: s1, s2 en s3. En type 2, omklappingen om een lijn die twee hoekpunten van de zeshoek verbindt: t₁, t₂ en t₃.
Om de 'banenformule' te gebruiken moeten we |Fix(g)| bepalen , het aantal zeshoeken dat niet verandert bij operatie g.
Natuurlijk is |Fix(e)| = 1 000 000
En |Fix(rk)| = 10 (alle zeshoeken van één kleur) als k = 1 of 5, Maar let nu goed op:
|Fix(rk)| = 100 als k = 2 of 4 (nu behalve die van één kleur ook die van type rood wit rood wit rood wit )
En |Fix(r₃)| = 1000 (alle zeshoeken waarvan overstaande zijden dezelfde kleur hebben)
Nu de omklappingen: We nummeren de zijden van de zeshoek, kloksgewijs : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Bij s1 blijven zijden 1 en 4 op hun plaats, 2 gaat naar 6 en 3 gaat naar 5. Dus 2 en 6 moeten dezelfde kleur hebben en 3 en 5 ook. de kleuren van 1 en 4 kunnen vrij gekozen worden. Dus:
|Fix(si)| = 10 000 voor i = 1, 2, 3
Tenslotte: |Fix(ti)| = 1000 zoals je gemakkelijk zelf kunt beredeneren.
Als je nu de banenformule toepast kom je op 1 034 220 / 12 = 86 185 verschillende zes hoeken.
Probeer zelf eens met 2 kleuren. Zonder banenformule kun je dan nog wel vinden dat er 13 verschillende zeshoeken zijn en vervolgens is het dan interessant om het ook met de banenformule te proberen.
Succes, vr gr

JCS

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 25 mei 2005