WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Ideale baan projectiel

hallo mensen van wisfaq,
ik had al eerder een vraag gesteld over dit onderwerp. Het ging over het probleem dat de ideale afschiet hoek, wanneer je hem niet vanaf de grond afschiet, niet gelijk is aan 45 graden. Met ideaal bedoel ik de hoek waarbij hij het verst komt.Maar de uiteindelijke formule gaf als antwoord steeds nagenoeg 45 graden, ik weet niet waar het fout gegaan is. Mijn werkwijze was als volgt:
vx·t=s
s is de afstand, vx de horizontale snelheid, t de tijd
om de tijd t te krijgen ben ik als volgt verder gegaan,
y=vy·t + y₀ - ¹/₂·g·t²
het moment waarop hij neerkomt is y 0, vy is verticale snelheid, t is tijd, y₀ de beginhoogte
-¹/₂·g·t² + vy·t + y₀ = 0
Via abc formule:
t= (-vy +/- √(vy²+2·g·y₀))/ -g

waardoor de uiteindelijke formule zou worden:
afstand = vx · t =
vx · (-vy +/- √(vy²+2·g·y₀))/ -g
vervolgens vervang je vx voor cos(a)·v
en vy voor sin(a)·v en dan zou je met a als variabele de ideale hoek moeten kunnen krijgen door de formule te plotten en het maximum te berekenen. Dit komt echter dus steeds rond 45 graden. Ik heb echt hulp nodig, waar zit de fout, of is het helemaal verkeerd..?
alvast bedankt..
hielke
hielke
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 12 mei 2005

Antwoord

Ik had t als volgt bekeken.
Ga uit van de volgende situatieschets:

Een kogel wordt met beginsnelheid v₀ schuin omhoog afgevuurd, onder hoek $\alpha$ met de horizontaal.
De horizontale afstand s die de kogel zal afleggen, wordt gegeven door:
s=v_x.t met v_x de horizontale snelheid. Aangezien deze (bij afwezigheid van wrijving) niet verandert, is v_x gelijk aan v₀.cos$\alpha$

De tijd t hangt af van hoe lang de kogel in de lucht blijft. Hiervoor halen we de formule voor afstand i.g.v. eenparig versnelde bewegingen van stal:
s(t) = s(0) + v(0).t + ¹/₂at²

Deze moeten we toepassen op de beweging in de VERTICALE richting van onze kogel. Goed opletten op tekens (+ of -).
We kiezen 'opwaarts' als positief.
De begin-opwaartse snelheid van onze kogel is +v₀.sin$\alpha$; a=-g (want g is neerwaarts gericht)
en s(t=0)=0
We willen weten voor welke t geldt dat s=0 (dwz de kogel zich op de grond bevindt):

0 = 0 + v₀sin$\alpha$.t - ¹/₂gt² $\Leftrightarrow$
t.(v₀sin$\alpha$ - ¹/₂gt) = 0 $\Rightarrow$
t=0 $\angle$ v₀sin$\alpha$ - ¹/₂gt = 0 $\Leftrightarrow$
t=0 $\angle$ v₀sin$\alpha$ = ¹/₂gt $\Leftrightarrow$
t=0 $\angle$ t = 2.v₀sin$\alpha$/g

De eerste oplossing is het moment van afvuren van de kogel (t=0), de tweede oplossing is het tijdstip t waarop de kogel zich weer op grondniveau bevindt.

invullen in de formule voor de hor. afstand s=v_x.t = v₀.cos$\alpha$.t :

s= v₀.cos$\alpha$.2.v₀sin$\alpha$/g
= 2.v₀².cos$\alpha$.sin$\alpha$/g

Dit is een formule voor de afstand s die niet meer van de tijd t afhangt, maar alleen van de beginhoek $\alpha$ en van de beginsnelheid v₀.

omdat sin2x=2.sinx.cosx kunnen we bovenstaande uitdrukking ook schrijven als
s= (v₀²/g).sin(2$\alpha$)

waar we nu naar op zoek waren, was de waarde van $\alpha$ waarvoor s maximaal is.
hiervoor moet je de uitdrukking voor s differentiëren naar $\alpha$.
s'=(v₀²/g).2cos(2$\alpha$)

voor welke $\alpha$ is s'($\alpha$)=0?
voor 2$\alpha$=90° ofwel voor $\alpha$=45°

groeten,

martijn

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 12 mei 2005