WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Puntmassa

Hallo,
Weten jullie hoe je het zwaartepunt van een onregelmatig veel vlakberekent aan de hand van een integraal?

Alvast bedankt.
Ulrich
3de graad ASO - woensdag 11 mei 2005

Antwoord

Zwaartepunten van twee- of driedimensionele voorwerpen vergen al snel het gebruik van tweedubbele of driedubbele integralen, en daar zit je natuurlijk nog niet.
Een speciaal geval dat toch nog interessant lijkt is het bepalen van het zwaartepunt van omwentelingslichamen, de lichamen die ontstaan door de grafiek van een bepaalde functie in het x-y vlak te roteren om, in ons geval, de x-as.
Uit symmetrie-overwegingen volgt meteen dat het zwaartepunt op de as van het lichaam zal gelegen zijn, zodat we nog slechts een coordinaat hoeven te bepalen.

Hoewel je de afleiding daarvan nog in latere cursussen aan hogeschool of universiteit zal zien, zijn de coordinaten van het zwaartepunt een soort 'gewogen gemiddelde' van de coordinaten van de punten die het lichaam uitmaken, met als wegingsfactor de massadichtheid in de bewuste punten.
Laten we er voor de eenvoud van uitgaan dat het lichaam homogeen is zodat de massadichtheid overal dezelfde is.

Eerst even laten aanvoelen waar de precieze gedaante van de formule vandaan komt: stel dat er in je klas toevallig

5 leerlingen zijn van 1m80
9 leerlingen zijn van 1m73
3 leerlingen zijn van 1m62

Hoe bepaal je dan het gemiddelde? Je vermenigvuldigt de lengtes met hoe vaak ze voorkomen en je deelt door het totale aantal leerlingen.

(5.180+9.173+3.162)/(5+9+3)

Men spreekt van een gewogen gemiddelde van 180, 173 en 162 omdat ze niet even belangrijk zijn. Hun belang of 'gewicht' wordt bepaald door de factor waar mee ze vermenigvuldigd worden.
In ons geval worden de lengtes vervangen door de x-coordinaat en wordt het aantal leerlingen met die lengte vervangen door het 'aantal' punten dat met die x-coordinaat overeenstemt, dat wil zeggen door de oppervlakte van zo een schijfje (met straal f(x)) van punten met dezelfde x-coordinaat.
Vervolgens moet er gedeeld worden door het totale 'aantal' punten in het lichaam, met andere woorden het volume, dat de integraal is van diezelfde oppervlakten van schijfjes. Je kan dit delen vergelijken met de factor 1/(b-a) bij het berekenen van het gemiddelde van een functie over een interval: je 'telt' alle functiewaarden op, maar moet nog delen door het 'aantal' punten in dat interval, en daar is b-a een maat voor. Je bekomt dus

x-coordinaat zwaartepunt = $\int{}$(x $\pi$f²(x) dx) / $\int{}$($\pi$f²(x) dx) (de $\pi$ kan je uiteraard 2 keer schrappen)
y-coordinaat zwaartepunt = 0

Bepaal nu hiermee de zwaartepunten van:

- een cilinder
- een kegel
- een bol
- een halve bol

Probeer bovenstaande, bewust intuitief gehouden, redenering wat rigoureuzer te maken door het zwaartepunt eerst te benaderen met eindige sommen en vervolgens het aantal deelintervallen naar oneindig te laten gaan, zoals in je in je eerste les over integralen oppervlakten benaderde met rechthoeken.

Lukt het zo?

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 13 mei 2005