WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Oppervlakte driehoek en determinant (bewijs)

Gegeven 3 punten a(x1,y1), b(x2,y2) en c(x3,y3).

Bewijs dat de oppervlakte vd driehoek abc gelijk is aan:
	 |x1  y1  1|
1/2. abs(|x2  y2  1|)
	 |x3  y3  1|
Als aanwijzingen heb ik de volgende:
-opp abc = 1/2.|bc|.d(a,bc)
-voor de berekening van d(a,bc), steun op:
|x   y   1|
|x1  y1  1|=0
|x2  y2  1|
stelt de vgl vd rechte door a en b voor

en/of

a, b en c zijn collinear
=
|x1  y1  1|
|x2  y2  1|=0
|x3  y3  1|
Ik zie niet goed in hoe ik d(a,bc) mbv de 2 laatste determinanten moet berekenen.
Als het aan mij lag zou ik een algemeen punt van bc berekenen mbv een parametervgl en dan de afstand tss a en dit punt. Maar dit wordt blijkbaar vrij ingewikkeld.
Ik heb op het net al naar een bewijs gezocht, maar enkel iets gevonden ivm een trapezium en het vectorproduct. Graag had ik dit gezien op de manier die de oefening veronderstelt.

Hopelijk kan u mij hieruit helpen.

Mvg,

Tom
Tom
Iets anders - zondag 8 mei 2005

Antwoord

De aanwijzigingen zijn juist, maar verwarrend.
Vermits je gebruik maakt van de vergelijking van de rechte ab is het aangewezen om ab als basis van de driehoek te nemen en d(c,ab) als hoogte.
Dus gebruik dan voor de oppervlakte van de driehoek de formule :
¹/₂.|ab|.d(c,ab)

Als je de determinantvergelijking van de rechte ab uitwerkt naar de gewone cartesische vergelijking bekom je :
(y1-y2)x - (x1-x2)y + x1y2 - x2y1 = 0

Om d(c,ab) te berekenen moet je
1. in deze vergelijking x en y vervangen door resp. x3 en y3
2. de absolute waarde hiervan nemen
3. delen door de normeringfactor van deze vergelijking.

Nu is deze normeringsfactor precies gelijk aan de lengte van de basis, dus |ab|

Als je dus oppervlakteformule uitwerkt valt |ab| weg ten opzichte van de normeringsfactor en vervang je x en y door x3 en y3 in de determinantvergelijking.
Om de te bewijzen formule te bekomen moet je nog enkele rijen verwisselen in de determinant, maar door de abs-waarde heeft dit geen invloed.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 10 mei 2005

Re: Oppervlakte driehoek en determinant (bewijs)