WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Modulaire vormen

Ik moet een werkstuk maken over Andrew Wiles, die de laatste stelling van Fermat bewees. In dat werkstuk moet ik het vermoeden van Taniyama en Shimura, namelijk dat alle elliptische krommen modulair zouden zijn, toelichten. Nu is mijn vraag: hoe kan je modulaire vormen het best definieren in vlot taalgebruik, zonder al te veel technische details?

valeri
3de graad ASO - zondag 24 april 2005

Antwoord

Het hoofdkenmerk van modulaire vormen is hun buitensporig hoge graad van symmetrie. In de wiskunde is een voorwerp symmetrisch als het op een bepaalde manier kan worden getransformeerd en daarna toch onveranderd lijkt.

Het eenvoudige vierkant is relatief symmetrisch. Het heeft, geprojecteerd in een assenstelsel zowel draaisymmetrie als spiegelsymmetrie maar het heeft geen schuifsymmetrie. Als het vierkant zou worden verschoven valt dat op omdat de positie is veranderd ten opzichte van de assen. Zelfs de zogenaamde Penrose-mozaieken (patronen voortgebracht door tegels zoals de vlieger en de pijl) lijken op het eerste gezicht schuifsymmetrisch te zijn maar hebben juist een hele beperkte symmetrie.

De interessante eigenschap van modulaire vormen is juist dat ze een oneindige symmetrie vertonen. De door Taniyama en Shimura bestudeerde modulaire vormen kunnen op een oneindig aantal manieren worden verschoven, verwisseld, gekanteld, gespiegeld en gedraaid en blijven steeds onveranderd., waarmee ze de meest symmetrische wiskundige objecten zijn die er bestaan.

Helaas is het tekenen of zelfs maar verbeelden van een modulaire vorm onmogelijk. In het geval van vierkanten hebben we te maken met twee dimensies (x en y-as) Een modulaire vorm wordt eveneens bepaald door twee assen maar beide zijn complex, dat wil zeggen, elke as heeft een reeel en een denkbeeldig deel. Om kort te zijn, modulaire vormen horen thuis in de complexe ruimte die het hyperbolisch halfvlak wordt genoemd. Het gaat dan om een vierdimensionale ruimte die lastig is voor te stellen voor mensen die leven in een driedimensionale wereld, al is vierdimensionaliteit een mathematisch geldig begrip.

groet

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 24 april 2005