WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Grootste getal in bepaalde vorm

Dit is een reactie op vraag 35624

Hebben a en b geen gemeenschappelijke deler dan is het grootste getal dat je niet in de vorm an+bm kunt schrijven het getal (a-1)*(b-1)-1=ab-a-b=(a-1)b-a=(b-1)a-b

Waarom is dat zo? Kun je dat uitleggen, bewijzen?

Rick
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 17 april 2005

Antwoord

Hiervoor is uitgelegd dat het getal (a-1)(b-1)-1 in ieder geval niet in de vorm an+bm kan worden geschreven.
Je kunt het paar (n,m) als een roosterpunt in een getallenparenvlak zien.
Duidelijk zal zijn dat de lijn an+bm=p roosterpunten in het eerste kwadrant heeft als pab.
Als er voor ieder getal p met (a-1)(b-1)-1pab een roosterpunt te vinden is in het eerste kwadrant dan is bewezen dat (a-1)(b-1)-1=(a-1)b-a=(b-1)a-b=ab-a-b het grootste getal is dat niet in de vorm an+bm is te schrijven met n,m0.
Er zijn a+b-1 getallen p waarvoor geldt ab-a-bpab.
Zijn er nu ook a+b-1 roosterpunten tussen de lijnen an+nm=ab-a-b en an+nm=ab?
Je kunt als volgt inzien dat dit zo is:
De punten (0,a), (b,0) en (0,0) vormen een driehoek begrensd door de n-as, de m-as en de lijn an+bm=ab. Noem ddeze driehoek A.
De punten (-1,a-1) (b-1,-1) en (-1,-1) vormen een driehoek begrensd door de lijnen n=-1, m=-1 en de lijn an+bm=ab-a-b.
Noem deze driehoek driehoek B.
Driehoek B ontstaat door driehoek A over (-1,-1) te verschuiven. Dat betekent dat er evenveel roosterpunten zijn die wel tot de ene driehoek maar niet tot de andere driehoek behoren.
De punten die niet tot driehoek A maar wel tot driehoek B behoren zijn (-1,-1), (-1,0), (-1,1),....(-1,a-1), (0,-1),(1,-1).....(b-1,-1).
Dit zijn er a+1+b+1-1=a+b+1.
Dus er zijn ook a+b+1 punten die wel tot driehoek A maar niet tot driehoek B behoren.
Twee van deze punten (b,0) en (0,a) liggen op de lijn an+bm=ab. Blijven dus over a+b+1-2=a+b-1 punten die tussen de lijn an+bm=ab-a-b en de lijn an+bm=ab liggen.
Conclusie het grootste getal dat niet in de vorm an+bm is te schijven is het getal ab-a-b.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 21 april 2005