WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Optellen van kwadraten

Hoe kan men op een efficiënte manier
(1000+1001+1002+...+9 999) optellen?

En (1000²+1001²+1002²+...+9999²) ??

Hoe kan ik dit het beste aanpakken? Van 0 tot 100 lukt nog wel met de rekenmachine maar van 1000 tot 9 999....

Alvast bedankt voor de hulp!
Veerle
3de graad ASO - zondag 17 april 2005

Antwoord

Beste Veerle,

Ken je de formule die de de som van de eerste n kwadraten bepaalt? Die luidt 1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² = (n(n+1)(2n+1))/6. Voor 'n bewijs zie deze site.
Dus de som van 1² + 2² + 3² + 4² + ... + 9999² = (9999(9999+1)(2·9999+1))/6. Maar dan hebben we 1² + 2² + ... + 999² er te veel bij geteld, en daar is de som (999(999+1)(2·999+1))/6 van.
Dus 1000² + 1001² + ... + 9999² = (9999(9999+1)(2·9999+1))/6 - (999(999+1)(2·999+1))/6 = ^{1997703009000}/₆ = 332950501500.

De eerste opgave 1000 + 1001 + ... + 9999 gaat analoog (met de eerste formule op diezelfde site).

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 17 april 2005