WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Stabilisator

Hallo wisfaq,

Ik wil de orde bepalen van de groep Oct van symmetrieën van de octaëder, en de stabilisatoren van respectievelijk een hoekpunt en zijvlak.Ik heb zelf:

Ik denk dat ik hierbij de volgende formule moet gebruiken:
#G=#G_X*#G_x, met G een groep die werkt op een verzameling X, en G_X={gx : g in G} en G_x={g in G : gx=x}

Hier is X de verz van hoekpunten van de octaëder.
En voor ieder punt is het product van zijn baanlengte en zijn stabilisatororde gelijk aan de groepsorde:

1.Neem een hoekpunt p van de octaëder, de baan bestaat uit de hoepunten van de octaëder, dus #G_X=6.Een stabilisator s van p ligt vast door zijn werking op de vier aangrenzende hoekpunten.Dus #G_x is isomorf met de D4, de groep van symmetrieën van een vierkant, dus #G_x=8.
Dus #G=48.Is dit correct?

2.De stabilisator van een hoekpunt is een symmetrie uit de groep symmetrieën van een vierkant.
De stabilisator van een zijvlak is een symmetrie uit de groep van symmetrieën van een gelijkzijdige driehoek.
Alleen begrijp ik niet hoe je deze twee uitspraken goed wiskundig moet formuleren en aantonen.

Vriendelijke groeten,
Viky
viky
Student hbo - maandag 4 april 2005

Antwoord

Hi Viky,

Je gebruikt die formule inderdaad goed. Je hebt het met een punt gedaan, maar het kan natuurlijk net zo goed met een ribbe, een lichaamsdiagonaal of een zijvlak. Die 48 is correct, ook al omdat de volgende oefening vraagt aan te tonen dat Oct isomorf is met de symmetriegroep van de kubus.

Dan dat tweede: je formuleert zoiets als "de stabilisatorgroep K_P van het punt P is de groep van symmetrieen van het vierkant, dus is D₄". Hoe je het aantoont? Wel, als je het punt P vast laat liggen, zal het tegenoverliggende punt Q ook vast blijven liggen, zoniet zou de lichaamsdiagonaal PQ worden omgezet in een ribbe. Dus alle elementen uit K_P zijn juist de symmetrieen van de vier overige punten op een vierkant...

Analoog voor de stabilisator van een zijvlak.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 4 april 2005

Re: Stabilisator