WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Alternerende groep

Hallo,
Ik volg het college groepentheorie, niet echt gemakkelijk :( Ik heb echter geen idee wat ik me nu voor moet stellen bi jde alternerende groep. In het dictaat staat het volgende beschreven:
A_n is de kern van het tekenhomorfisme epsylon: S_n$\to$C₂

In mijn ogen een beetje vage definitie, aangezien ik totaal niet weet wat het precies voorstelt en wat ik er mee kan.

bij voorbaat dank
Erik
Erik
Student universiteit - zaterdag 2 april 2005

Antwoord

Hallo Erik,

De groep S_n bestaat uit alle permutaties van de eerste n natuurlijke getallen. Er bestaat nu een eigenschap die zegt dat je elk van deze permutaties kan schrijven als een product (of samenstelling) van transposities (dat zijn cykels van lengte 2, dus van de vorm (a b)).

Om een voorbeeld te geven in S₇
(1 2 4 6)(3 5) kan geschreven worden als (1 6)(6 4)(4 2)(3 5).
Dit zijn dus vier transposities, dat is even, en dan spreekt men van een even permutatie. Het eenheidselement schrijf je als nul transposities, dus is ook een even permutatie. Het element (1 2)(3 4)(5 7) is dan weer oneven.

Als je dan nu het tekenhomomorfisme epsilon uit jouw definitie bekijkt, dan is dat het homomorfisme dat een willekeurige permutatie naar +1 stuurt als het een even permutatie is, en naar -1 als het een oneven permutatie is. De kern van dit homomorfisme is dus de verzameling (groep) van alle permutaties die naar +1 gestuurd worden, dus de groep van alle even permutaties, en die duiden we dan aan met A_n.

Je kan eenvoudig nagaan dat deze A_n weer een groep is (dat komt er op neer dat de samenstelling van twee even permutaties weer een even permutatie is), en dat het aantal elementen van A_n gelijk is aan n!/2 (als n1).

Zo bestaat A₃ uit e, (1 2 3) en (1 3 2), terwijl A₂ enkel het eenheidselement bevat.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 2 april 2005

Re: Alternerende groep