WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bewijs matrix

det(adjA)=(detA)ⁿ-1
ik geraak er niet uit, hetgeen ik probeer is via A.A^-1 = I_n= A^-1

zoiets kan iemand me aub helpen?
ik breek er mijn hoofd al uren op
bedankt, winny
winny
3de graad ASO - donderdag 24 maart 2005

Antwoord

Beste Winny,

Om dit te bewijzen zal ik gebruiken maken van enkele andere stellingen (zo zit de algebra nu eenmaal in elkaar ).
Ik hoop niet dat je verwacht dat die ook allemaal bewezen moeten worden want dan moet je teruggaan tot de definitie van de determinant!

Als er iets onduidelijk lijkt of als je bij een stelling wel wat extra uitleg wil mag je dat natuurlijk vragen.

Stelling:

det(AB) = det(A)·det(B)

Hoewel de commutativiteit in het algemeen niet geldig is voor matrices hebben we wel volgende stelling:

adj(A)·A = A·adj(A) = det(A)·I_n

Die laatste matrix stelt dus een diagonaalmatrix voor met op de hoofddiagonaal over de determinant van A.

Gebruik makend van de laatste gelijkheid uit de 2e stelling hebben we dus dat:

A·adj(A) = det(A)·I_n

Links staat een product van 2 matrices, dit geeft een nieuwe matrix en rechts staat er ook één. Als 2 matrices gelijk zijn, dan moeten hun determinant ook gelijk zijn, dus:

det(A·adj(A)) = det(det(A)·I_n)

Op het linkerlid kunnen we de 2e stelling toepassen.

Linkerlid: det(A·adj(A)) = det(A)·det(adj(A))

Het rechterlid is iets subtieler! 'det(A)' stelt een gewoon getal voor. Een matrix vermenigvuldigd met een constante factor betekent elk element met dat getal vermenivulgigen, hier die eenheidsmatrix.

Wat determinanten betreft is dit niet zo, daar heb je dat een evenredigheidsfactor vermenivuldigd met een determinant van een matrix gelijk is aan de determinant van die matrix waarbij je één rij (of kolom) met dat getal vermenigvuldigt.

Omgekeerd komt er bij een constante factor dus (voor een n x n matrix) de n^e macht van dat getal buiten de determinant, waarbij die factor hier det(A) is.

Rechterlid: det(det(A)·I_n) = det(A)ⁿ·det(I_n)

De determinant van een eenheidsmatrix is echter 1, zodat we vinden:

det(A)·det(adj(A)) = det(A)ⁿ

Deel nu beide leden nog door det(A) en je vindt...

det(adj(A)) = det(A)^n-1

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 24 maart 2005