WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Lichaamsuitbreiding

Hallo wisfaq,

Ik wil graag bewijzen dat Q(sqrt2,sqrt3)=Q(msqrt2+nsqrt3) voor alle m en n in Q*=Q\{0}, Q de rationale getallen.
Ik heb het volgende bewijs waar ik twee vragen over heb:

1.Q(msqrt2+nsqrt3) is bevat in Q(sqrt2,sqrt3).vraag1.:Ik weet niet hoe ik goed wiskundig moet beargumenteren dat dit geldt.

2.De graad [Q(sqrt2,sqrt3):Q]=4, dus de graad
[Q(msqrt2+nsqrt3):Q] is 1,2 of 4.Je moet nu de graad van het minimumpolynoom f van a=msqrt2+nsqrt3 over Q.Hiertoe bereken je machten van a.Je vindt dan dat de graad 4 is.Dus, [Q(msqrt2+nsqrt3):Q]=deg(f)=4.Nu volgt uit het feit dat,
[Q(sqrt2,sqrt3):Q]=[Q(sqrt2,sqrt3):Q(msqrt2+nsqrt3)]*
[Q(msqrt2+nsqrt3):Q],
dat [Q(sqrt2,sqrt3):Q(msqrt2+nsqrt3)]=1.
vraag2.Maar een uitbreiding van graad 1 is geen uitbreiding.Dus Q(sqrt2,sqrt3)=Q(msqrt2+nsqrt3)?
Is dit goed wiskundig geformuleerd?En hoe je toon aan dat een uitbr van graad 1 geen uitbr is?

Vriendelijke groeten,
Viky
viky
Student hbo - woensdag 9 maart 2005

Antwoord

1. Je kunt Q(sqrt2,sqrt3) als deelichaam van R zien, en wel als de verzameling van alle getallen van de vorm p+q*sqrt2+r*sqrt3+s*sqrt6 (met p,q,r,s in Q). Evenzo is Q(msqrt2+nsqrt3) een deellichaam van R: alle getallen van de vorm a+b*alpha+c*alpha^2+d*alpha^3 (met a,b,c,d in Q en
alpha=msqrt2+nsqrt3). Omdat alpha in Q(sqrt2,sqrt3) zit zitten al die getallen ook in Q(sqrt2,sqrt3).
2. Je kunt het via de graden doen maar je kunt ook direct uitrekenen dat sqrt2 en sqrt3 in Q(msqrt2+nsqrt3) zitten: uit (m*sqrt2+n*sqrt3)^2=2m^2+3n^2+2m*n*sqrt6 volgt al dat sqrt6 in Q(msqrt2+nsqrt3) zit en dus ook sqrt6(msqrt2+nsqrt3)=2msqrt3+3nsqrt2. Deel msqrt2+nsqrt3 door m en deel 2msqrt3+3nsqrt2 door 3n en trek de resultaten van elkaar af: je krijgt (n/m-(2m)/(3n))sqrt3 en wat tussen de haken staat is niet nul (uit n/m=(2m)/(3n) volgt dat (m/n)^2=3/2, maar sqrt(3/2) is niet rationaal). Nu volgt dat sqrt3 in Q(msqrt2+nsqrt3) zit en dus ook sqrt2.
Je argument is goed en een uitbreiding van K graad 1 is een vektorruimte over K van dimensie 1, maar dat is K zelf.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 10 maart 2005

Re: Lichaamsuitbreiding