WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Stellingen, bewijzen en vermoedens

Op de site schrijft U bij het stuk over bewijs dat je een stelling ook kunt bewijzen door gebruik te maken van zgn. afleidingen. Dit gaat volgens die informatie in zijn werk door "de stelling rechtstreeks af te leiden van eerdere stellingen". Hoe gaat dit dan precies in zijn werk, want het is mij niet helemaal duidelijk hoe dit dan tot een bewijs kan leiden.

Ook staat er dat er discussie is over de geldigheid van bewijzen met volledige inductie, omdat je "datgene wat je moet bewijzen als gegeven in je bewijs gebruikt". Zou U daar misschien een voorbeeld van kunnen geven om dit te kunnen concretiseren.

Als laatste zou ik graag willen weten wat nu het verschil is tussen een vermoeden en een stelling.
Alvast bedankt!
Antoni
Leerling mbo - zaterdag 1 juni 2002

Antwoord

Om een stelling te bewijzen worden meestal al eerder bewezen stellingen gebruikt. Door allerlei eerder bewezen resultaten te combineren kun je soms weer een nieuw resultaat krijgen. De stelling dat de drie hoogtelijnen van een driehoek door één punt gaan kun je bijvoorbeeld zonder moeite bewijzen als je reeds bewezen hebt dat de drie middelloodlijnen van een driehoek door één punt gaan.
Hier zie je dus hoe de ene stelling hand- en spandiensten kan verrichten om een andere stelling te kunnen bewijzen.

Wat het tweede betreft: elk inductief bewijs kent de volgende structuur.
1) Laat zien dat de uitspraak geldig is voor n = 1
2) Neem nu aan dat de uitspraak geldig is voor n = k
3) Probeer nu, op grond van wat bij 1 en 2 staat, de sprong naar de waarde n = k + 1 te maken.

Als je eens een inductiebewijs bestudeert, dan moet je de drie vermelde stappen duidelijk kunnen herkennen.
Het probleem waar je naar vraagt zit 'm in het tweede puntje. Daar gebruik je eigenlijk al hetgeen je wilt bewijzen. Wiskundigen van een bepaalde stroming (maar dat is volgens mij een kleine minderheid) verwerpen die aanname. Daarvoor voeren zij erg ingewikkelde argumenten aan die in de logica thuishoren.

Je derde vraag is nog de eenvoudigste: een vermoeden is nog niet keihard bewezen, en dus zou het wel eens onwaar kunnen blijken te zijn.
Een stelling is die fase al te boven: men kan de bewering echt aantonen, zodat twijfel onterecht is.

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 1 juni 2002