WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Cyclische groep

Hallo wisfaq,

C is de verzameling van complexe getallen.
De verzameling C*=C\{0} van complexe getallen vormt een groep onder vermenigvuldiging.Ik wil graag laten zien dat iedere eindige ondergroep H die bevat is in C* cyclisch is.
Dus ik moet laten zien dat H wordt voortgebracht door 1 element.Maar hoe vind ik nu voor H dit element?

Groeten,
Viky
viky
Student hbo - donderdag 24 februari 2005

Antwoord

Hi Viky,

H is een groep met vermenigvuldiging als bewerking. Dus als h erin zit, dan ook h², h³,... Als h modulus verschillend van 1 heeft, dan hebben al die machten van h een verschillende modulus, dus zijn al die machten verschillende elementen en dus is H niet eindig. Bijvoorbeeld: als 2 in H zou zitten, dan ook 4, 8, 16, ...

Goed, H bestaat dus noodgedwongen enkel uit elementen a+bi die op de eenheidscirkel liggen. Bovendien moet H eindig zijn, dus voor elk element h moet er een n bestaan zodat hⁿ=1 (zoniet zijn h,h h², h³,... weer oneindig veel verschillende elementen van H).

Elk element is dus een machtswortel van 1. Stel dat je twee elementen hebt, a en b, met respectieve orde n en m. Dan aⁿ = b^m = 1.

Probeer nu te bewijzen dat als je een element a hebt van orde n, en een element b van orde m, je ook een element hebt van orde kgv(n,m).

Stel p = ggd(n,m). Dan zijn n/p en m onderling ondeelbaar. En c = a^p heeft orde n/p; b heeft orde m. Welnu, bc zal dan orde mn/p = nm/ggd(n,m) = kgv(n,m) hebben. Vb: een element van orde 5 vermenigvuldigd met een element van orde 6 is een element van orde 30. Dit lijkt mij logisch, je kan het bewijzen door die elementen echt uit te schrijven (vb e^2k$\pi$i/5 en e^2l$\pi$i/6)

Conclusie: voor elke twee elementen bestaat er een element met als orde het kgv van de ordes. Neem nu het kgv van de ordes van alle elementen van H, noem dit kgv = t. En voila, de primitieve t-demachtswortel van 1 (=e^2$\pi$i/t) is je voortbrengend element.

Hiermee is dus bewezen dat er zo een element van orde t in H zit (nuja, ik heb maar met twee elementen a en b gewerkt, maar met inductie lukt dit ook voor alle elementen).

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 24 februari 2005

Re: Cyclische groep