WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Ontbindingslichaam

Hallo wisfaq,

M=Q(a) (Q de rationale getallen) is bevat in R (de reele getallen) met a=1+sqrt2+sqrt3.Het minimunpolynoom van a over Q is f=x^4-4x^3-4x^2+16x-8.En f is irreducibel over Q[x].Ik wil graag de graad bepalen van het ontbindingslichaam van f over Q.Allereerst moet ik laten zien wat dit ontbindingslichaam is, maar ik weet niet hoe ik deze moet bepalen.Ik heb wel het volgende:
a is algbraisch over Q, f is het unieke irreducibele polynoom in Q[x] dat a als nulpunt heeft, en
[Q(a):Q]=deg(f) (volgens een stelling).
Dus hier heb ik [Q(a):Q]=deg(f)=4.Maar wat is nu het ontbindingslichaam en wat is het verband met [Q(a):Q]=deg(f)?

Groeten,
Viky

viky
Student hbo - zondag 20 februari 2005

Antwoord

Het onbindingslichaam van f ver Q is het kleinste deellichaam van C waar Q in zit en alle nulpunten van f. De nulpunten van f zijn a, 1+sqrt2-sqrt3, 1-sqrt2+sqrt3 en 1-sqrt2-sqrt3 (dat kun je nagaan door invullen). Als je kunt laten zien dat alle nulpunten in Q(a) liggen ben je klaar. Welnu: a^2=1+2sqrt2+2sqrt3+2+2sqrt6+3=2a+1+2sqrt6.
Hieruit volgt dat sqrt6 in Q(a) zit, met wat extra werk kun je dan laten zien dat sqrt2 en sqrt3 ook in Q(a) zitten:
sqrt6(sqrt2+sqrt3)-2a+2=2sqrt3+3sqrt2-2sqrt3-2sqrt2-2+2=sqrt2
en a-1-sqrt2=sqrt3. Maar nu volgt dat alle nulpunten van f in Q(a) zitten.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 25 februari 2005