WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Lastige primitieven?

Goedemiddag,

Er staat: Bereken de primitieve van

x/(x²-4x+20) dx

1/(x(ln(x))(ln(2x))) dx

Ik ben al een hele tijd met deze opgaven aan het prutsen.
Bij de eerste kom ik opeens complexe getallen tegen...
En bij de tweede kom ik helemaal nergens. Mijn idee is om substitutie te gebruiken maar de vraag is welke? het komt steeds niet uit door die 2x!

Hulp is van harte welkom!

Groetjes van Fleur
Fleur
Student hbo - zaterdag 19 februari 2005

Antwoord

Beste Fleur,

Ik zal eerste even die 2e doen. Je idee was namelijk goed een substitutie te gebruiken, alleen moet je nog denken aan de eigenschap van logaritmen die zegt:
ln(ab)=ln(a)+ln(b)
In jouw geval krijg je dus ln(2x) = ln(2) + ln(x) waarbij die laatste weer gesubstitueerd kan worden en die eerste nu een constante is.
Omdat we verderop toch nog een handig, maar niet zo evident, truukje gaan gebruiken zal ik het even overlopen.
Het begint dus zo:

Nu passen we even een truukje toe, verderop zal dat de opgave een stuk korter maken.
We delen teller en noemer door t²:

Als je nu goed kijkt, zie je dat we een verband tussen de teller en de noemer kunnen krijgen. De afgeleide van de noemer is immers:

En dat staat, op de factor -ln(2) na, precies in de teller. Als we voor de integraal delen door deze factor mogen we hem in de teller toevoegen. Dan hebben we een integraal van het type waarbij de teller de afgeleide is van de noemer met als primitieve LN van de noemer. Achteraf nog terugsubstitueren en je krijgt dus:

Die eerste is een zeer typische integraal, het integreren van veeltermbreuken. Omdat je nog een x in de teller hebt ga je deze integraal in 2 delen oplossen.
Voor een stuk maken we gebruik van de truuk in de andere opgave, door in de teller de afgeleide van de noemer te krijgen.

De afgeleide van de noemer is 2x-4, maar in de teller hebben we enkel x. De factor 2 is geen probleem, we kunnen de teller vermenigvuldigen met 2 als je voor de integraal deelt door 2. Die -4 lijkt een probleem, maar het truukje gaat hier als volgt, schrijf in de teller: x-2+2.
Eigenlijk heb je nu 'niets' gedaan, je kan de breuk nu splitsen, een eerste term met (x-2) in de teller en een tweede term met enkel 2 in de teller (zelfde noemers). Nu splits je ook de integraal, je krijgt dan een som van 2 integralen.

Bij die eerste integraal voeg je nu die factor 2 toe (en 1/2 voor de integraal), waardoor je in de teller 2x-4 krijgt, precies de afgeleide van de noemer. De eerste integraal is dus weer ln van de noemer, met die factor 1/2.

Nu lijkt het alsof we niet veel verder zijn, een eerste deel is opgelost maar nu hebben we nog precies dezelfde integraal , enkel met een 2 in de teller ipv een x.
Voor dit soort integralen is er een vast procédé om de integrand om te vormen naar iets van de vorm 1/(x²+1), met een ArcTan (Bgtg, ATAN) als primitieve.

Ik ga jouw voorbeeld niet volledig uitwerken, maar ik geef je wel een link waar ik een integraal van dit laatste type heb uitgewerkt met uitleg erbij. Aan de hand daarvan moet het normaal wel lukken, anders laat je maar wat horen

mvg,
Tom
Zie Integreren van een veeltermbreuk

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 19 februari 2005