WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Afstand punten tot een vlak gegeven, wat is de formule voor het vlak?

Ik heb een tetraëder. Van 3 van de hoekpunten is de afstand tot een vlak gegeven. Nu wil ik graag de formule van het vlak weten, of de afstand van het vierde hoekpunt tot het vlak. Het vlak doorsnijdt de tetraëder niet.

bedankt!

sandra
Student universiteit - dinsdag 8 februari 2005

Antwoord

Definieer

f(x,y,z) = (ax+by+cz+d)/Ö(a²+b²+c²)

Aangezien alle punten van de tetraeder aan dezelfde kant van het vlak liggen worden de afstanden allemaal door f of allemaal door -f gegeven. Dat laatste geval kunnen we dan vatten in een tekenwisseling van de coefficienten a,b,c en d, dus daar hoeven we ons niet druk over te maken.

Tov een bepaald assenstelsel zijn de coordinaten van de hoekpunten van de tetraeder (controleer zelf dat |PiPj|=1)

P1(Ö3/3,0,0)
P2(-Ö3/6,1/2,0)
P3(-Ö3/6,-1/2,0)
P4(0,0,Ö6/3)

a, b, c en d zouden dan moeten volgen uit

f(x1,y1,z1)=L1
f(x2,y2,z2)=L2
f(x3,y3,z3)=L3

maar dat is niet zo praktisch. Ik ben daarom vertrokken van de vergelijkingen:

f(x1,y1,z1)/f(x3,y3,z3) = L1/L3
f(x2,y2,z2)/f(x1,y1,z1) = L2/L1
f(x3,y3,z3)/f(x2,y2,z2) = L3/L2

om van de wortels af te zijn. De laatste geeft echter geen extra informatie. Er blijven 2 lineaire vergelijkingen in 4 onbekenden over. Je kan dus 2 van die onbekenden (b en d) schrijven in functie van 2 andere (a en c).

De extra vergelijking

f(x1,y1,z1)² = L1² geeft dan tenslotte het evenredige verband tussen a en c (Er zijn er twee: een "+" en een "-", die overeenkomen met de twee mogelijke raakvlakken aan de drie gegeven bollen). Er blijft natuurlijk nog een onbepaaldheid over, maar daar kan je niks aan veranderen (denk aan x+y+z=1 en 2x+2y+2z=2 die hetzelfde vlak beschrijven)

Eens je uitdrukkingen voor a, b, c en d hebt gevonden kan je f(x4,y4,z4) berekenen. Ik kom uit op

L4 = (L1+L2+L3)/3 +/- (2Ö2/3)Ö(L1L2+L1L3+L2L3-L1²-L2²-L3²+3/4)

Controleer zelf de geldigheid voor L1=L2=L3 (het bewuste vlak ligt evenwijdig aan een vlak van de tetraeder)

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 9 februari 2005