WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Getaltheorie

hoi, ik ben me wat aan het verdiepen in de elementaire getaltheorie. helaas vormt 1 bewijs een serieus struikelblok. kun je het bewijs van de volgende stelling geven?
het gemiddelde G(N)=(($\sigma$(1))/1+($\sigma$(2))/2+ ... +($\sigma$(N))/N) gaat naar $\pi$²/6 als N naar $\infty$ gaat. met $\sigma$(n) de som van alle delers van n.

jan-willem
jan-wi
3de graad ASO - zaterdag 29 januari 2005

Antwoord

Hallo Jan-Willem,

Dat is wel een mooie stelling... Je bent wel nog eens vergeten alles te delen door N, dus het gemiddelde nemen eigenlijk.

Ik heb er niet zelf een bewijs voor kunnen vinden, en rondstruinen op internet gaf ook geen mooi afgelijnd bewijs. Wel vond ik op mathworld de uitdrukking nummer [21]. Als je die voor waar aanneemt, of zelf probeert op te stellen, kan je het bewijs wel formuleren.

21: $\sigma$(n) = $\pi$²n/6 (1 + (-1)ⁿ/4 + ...)
Dus $\sigma$(n)/n = $\pi$²/6 (1 + (-1)ⁿ/4 + ...)
Als je nu de som van alle $\sigma$(n)/n berekent voor n gaande van 1 tot N, en dan deel je door N, wat gebeurt er dan?
Die eerste term 1 binnen de haakjes neem je N keer, dus dat is N, te delen door N, dus dat is 1.
Alle andere termen heffen elkaar op lange termijn op: zo zal de tweede term altijd dezelfde zijn, en afwisselend positief en negatief: ¹/₄ - ¹/₄ + ¹/₄ - 1/4...

Al die andere termen zien er cosinussen uit die, als je ze samentelt, op nul uitkomen of elkaar opheffen... Dat zou je dan nog eens expliciet moeten nakijken, maar dat zal denk ik geen problemen opleveren.

Ook leuk om weten: die $\pi$²/6 is ook gelijk aan $\zeta$(2) = $\sum$1/n². En 1 gedeeld door dat getal is de kans dat twee willekeurig gekozen natuurlijke getallen, onderling ondeelbaar zijn...

Als je die stelling nog wil bewijzen op een properder manier, zonder die reeks, en je hebt enig idee waarop je zou moeten steunen, reageer dan gerust terug...

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 4 februari 2005