WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Rationale oplossing van een vergelijking

Dit is een reactie op vraag 32713

Pardon, ik bedoelde natuurlijk 0a1/e... (anders zou het ook geen antwoord geven op mijn oorspronkelijke vraag).
Arno J
Docent - zondag 16 januari 2005

Antwoord

Hallo Arno,

Een leuke vraag is het wel, blijkbaar heeft Euler zich er mee bezig gehouden. Ik had al kunnen afleiden dat x en y gehele machten waren van eenzelfde breuk, maar verder kwam ik niet. Ik dacht dat ik daaruit moest kunnen bewijzen dat er geen andere oplossingen waren dan (2,4), maar dat blijkt fout te zijn: uit deze link blijkt dat er oneindig veel positieve rationale oplossingen zijn, allemaal van de vorm:

x = ((n+1)/n)ⁿ
y = ((n+1)/n)ⁿ⁺¹

Dus bijvoorbeeld, met n=1: (2,4), of met n=2: (9/4,27/8).

En dat is achteraf bekeken ook wel een logische oplossingsverzameling, immers: de limiet voor n naar oneindig van zowel x als y is dan juist e, het punt dus waar het maximum van de grafiek ln(x)/x bereikt wordt. Dus dat is ook wel interessant: in elke omgeving van e zitten oneindig veel rationale koppels die een oplossing vormen...

En dit zijn dan alleen nog maar de positieve oplossingen, er zijn ook nog negatieve oplossingen, namelijk al die koppels (-x,-y) waarvoor de n oneven was. Zijn er ook oplossingskoppels die bestaan uit een negatief en een positief getal? Die lijken mij niet meteen af te leiden uit de positieve oplossingen, maar misschien zijn er wel.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 19 januari 2005