WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

De lengte van een grafiek

Ik heb een praktische opdracht voor wiskunde gekregen over rijen. kan iemand mij misschien helpen met de volgende vraag:
De grafiek van een functie is vaak een kromme lijn. In sommige gevallen kan de lengte van een grafiek exact worden bepaald, maar veel vaker is alleen een benadering mogelijk. Een eenvoudige benadering is mogelijk via de stelling van pythagoras. Daartoe deel je het grafiekdeel waarvan je de lengte moet bepalen op in een aantal (bijv. 100) delen. Van elk deel bepaal de met pythagoras de lengte. tenslotte tel je de lengte bij elkaar op. Afhankelijk van de grafiek heb je nu min of meer een goede benadering van de werkelijke lengte.
Ik moet nu de lengte bepalen van g(x) = 2Ù(0.1x+2) op het interval [0,10]. Ik moet het interval verdelen in 250 gelijke delen en per deel de lengte van de grafiek berekenen met pythagoras en daarna alles bij elkaar optellen. Ik moet hierbij gebruik maken van rijen.

Jip
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 14 januari 2005

Antwoord

Ik zal een aanzet geven voor 5 gelijke delen.
We hebben dan zes punten op de grafiek van g:
De x-coordinaten van deze punten zijn 0,2,4,6,8 en 10.
De afstanden langs de x-as zijn dus 2.
De y-coordinaten van deze punten zijn dan achtereenvolgens:
2²,2^2.2,2^2.4,2^2.6,2^2.8 en 2³.
Twee opeenvolgende punten bepalen een stukje van de grafiek. De lengte van het lijnstukje dat deze twee punten verbindt kun je dan als benadering voor de lengte van dit stukje grafiek gebruiken.
Met behulp van de stelling van Pythagoras kun je de lengte van zo'n lijnstukje berekenen.
lijnstukje1: Ö(2²+(2^2.2-2²)²)
lijnstukje2: Ö(4+(2^2.4-2^2.2)²)
lijnstukje3: Ö(4+(2^2.6-2^2.4)²)
lijnstukje4: Ö(4+(2^2.8-2^2.6)²)
lijnstukje5: Ö(4+(2³-2^2.8)²)

Door nu de lengtes van deze 5 lijnstukjes op te tellen heb je een benadering van de lengte van de grafiek.
Je krijgt een nauwkeuriger benadering als je niet in 5 stukjes verdeelt maar in (bijvoorbeeld) 250.
Dat kun je natuurlijk niet allemaaal meer apart opschrijven, uitrekenen en optellen.
Het ligt dan voor de hand om een formule te maken die de lengte van de lijnstukjes geeft uitgedrukt in het rangnummer. Je kunt dan deze formule gebruiken om met behulp van je rekenmachine of Excel alle stukjes in een klap uit te rekenen en op te tellen.
Aan jou nu de taak om dit uit te voeren.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 14 januari 2005

Re: De lengte van een grafiek