WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Hyperbool

Beste, ik heb een probleem, voor wiskunde moet ik volgend bewijs oplossen en ik weet niet hoe eraan te beginnen;
men neemt een willekeurig punt p op een hyperbool x²/a² - y²/b² = 1 en daardoor trekt men een raaklijn, vervolgens trekt men door een brandpunt een loodrechte op de raaklijn in p.
Gevraagd is te bewijzen dat alle snijpunten van elk willekeurig punt op de hyperbool een cirkel vormen met (0,0) als middelpunt en als straal a.
Kan u me helpen?
DLE
3de graad ASO - dinsdag 11 januari 2005

Antwoord

Oplossing 1
Allereerst maar 'eenvoudige' meetkundige oplossing.
We kunnen een hyperbool opvatten als de confictlijn tussen een cirkel (met middelpunt G en straal 2a) en een punt F buiten die cirkel.

[Cabri-applet]
Op de conflictlijn liggen de punten X die gelijke afstand hebben tot (punten op) de 'rand' van de cirkel en tot het punt F.
Is X zo'n punt, dan geldt dus (zie de figuur): XR = XF
X ligt dus op een middellijn van de cirkel door R en ook op de middelloodlijn van RF.
X is dus het snijpunt van beide lijnen.
Daarbij geldt: deze middelloodlijn is raaklijn in X aan de hyperbool.
De punten Y waarnaar je zoekt, zijn dus de snijpunten Y van de lijn FR en de bedoelde middelloodlijn, immers XY is raaklijn aan de hyperbool en FY staat daar loodrecht op.

Bekijk nu de figuur goed. Er geldt steeds: FY = ¹/₂FR.
R ligt op de cirkel met middelpunt G. Y ligt dus ook op een cirkel, namelijk de cirkel die onder de homothetie met centrum F en factor ¹/₂ uit de cirkel met middelpunt G wordt verkregen.
Ga verder na, dat steeds |XF - XG| = |XR - XG| = |GR| = 2a.
De straal van de gezochte cirkel is dan ¹/₂·2a = a.
Het middelpunt van die cirkel is dus het homothetisch beeld van G. En dat is dus het punt O midden tussen F en G, de brandpunten van de hyperbool.

[Over de applet]

In de applet kan je het punt R over de cirkel (de zogenoemde richtcirkel van de hyperbool) verplaatsen.
N.B.
Als het punt F binnen de cirkel ligt, krijg je een ellips als conflictlijn. Maar ook dan liggen de punten Y op een cirkel met straal a.
De positie van het punt F kan worden gewijzigd.
De grootte van de richtcirkel kan je veranderen door het punt aangegeven met <> horizontaal te verplaatsen.

De gezochte cirkel wordt ook wel hoofdcirkel van de hyperbool (ellips) genoemd.

Oplossing 2
We kunnen eea. ook via een berekening laten zien. Daartoe gaan we uit van een raaklijn aan de hyperbool met vergelijking
x²/a² - y²/b² = 1
Stel zo'n raaklijn heeft de vergelijking
y = mx + q
Substitutie van y in de hyperbool-vergelijking geeft dan (na enige herleiding; zelf narekenen!):
(a²m² - b²)x² + 2a²mqx + a²q² + a²b² = 0
Voor x vinden we dan (via de ABC-formule EN na weer wat rekenwerk):
x = T / N
met T = -a²mq ± ab√(a²m² - b² - q²) )
en N = a²m² - b²
We hebben nu twee gelijke waarden van x (raaklijn!), dus de discriminant is gelijk aan 0; zodat
a²m² - b² - q² = 0
zodat q = ±√(a²m² - b²)
De raaklijn (met rico = m) heeft dus de vergelijking
y = mx ± √(a²m² - b²)
of
(1)..... y - mx = ± √(a²m² - b²)
De loodlijn uit het brandpunt F (c, 0) heeft dan de vergelijking:
y = -(1/m)(x - c)
of
(2)..... my + x = c
Als m varieert vinden we met (x,y) die voldoen aan (1) en (2) telkens het snijpunt van deze lijnen.
Elimineren we m, dan vinden we de meetkundige plaats van de punten Y (en naar die meetkundige plaats ben je op zoek).

We kwadrateren nu de vergeijkingen (1) en (2), en tellen beide uitdrukkingen bij elkaar op.
Dat geeft (reken zelf maar weer na):
(3)..... (m² + 1)y² + (m² + 1)x² = a²m² - b² + c²
Nu is (zie het rechter lid):
a²m² - b² + c² = a²m² + a² = a²(m² + 1)
immers bij deze hyperbool geldt: a² + b² = c² of c² - b² = a².
Vergelijking (3) gaat dus, na deling door (m² + 1), over in:
x² + y² = a²
En dit is een cirkel met middelpunt O en straal a, de hoofdcirkel van de hyperbool.

Meer over de richtcirkel en de hoofdcirkel kan je vinden via onderstaande link (wat op die pagina staat geldt, met wat kleine wijzigingen, ook voor een hyperbool).
Zie De richtcirkel van een ellips

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 12 januari 2005