WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Elliptische meetkunde

Hallo,

Ik zit in 6 vwo en ik doe een PO over niet-Euclidische meetkunde. Ik ben nu bezig met Elliptische meetkunde. Ik kwam ergens op Internet iets tegen over dit onderwerp. Er stond dat het bij elliptische meetkunde nodig was om de andere postulaten ook iets aan te passen, er staat echter niet welke en hoe. Ik kon ook niet ergens anders iets hierover vinden.
Is dit waar? Zo ja, welke veranderingen dan?
Hartelijk dank
Willem
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 16 december 2004

Antwoord

Een bekend model van een elliptische vlakke meetkunde is de bolmeetkunde. De 'rechte lijnen' van deze meetkunde zijn de grote cirkels op de bol (elke grote cirkel is snijcirkel van de bol met een plat vlak gaande door het middelpunt van de bol). Euclides zou zeggen dat deze 'lijnen' niet recht zijn, maar hij kon niet goed uitleggen wat hij met een rechte lijn bedoelt (wie wel?).
Twee 'rechte lijnen' kunnen nu in de bolmeetkunde niet evenwijdig zijn, want twee grote cirkels op de bol snijden elkaar altijd (in een puntenpaar van twee tegenvoeters). Dus het parallellenpostulaat geldt niet.
Het postulaat dat zegt dat men een lijnstuk onbepaald kan verlengen, kan men handhaven als men het op de juiste manier interpreteert.
De andere postulaten en algemene noties kan men ook handhaven (ga maar na).

Er zijn echter later axioma's voor de Euclidische Meetkunde toegevoegd, die voor de elliptische meetkunde niet zijn te handhaven.
Om dat in te leiden, eerst het volgende.
De zestiende stelling van het eerste boek van Euclides is de eerste stelling van Euclides die in de elliptische meetkunde niet geldt. Je kunt zien waarom deze niet geldt, als je het bewijs probeert na te bootsen in de driehoek met een hoekpunt in de noordpool en twee hoekpunten op de evenaar op 0 en 90 graden oosterlengte (deze driehoek heeft drie rechte hoeken).
Zie voor deze stelling van Euclides onderstaande link, en probeer het bewijs na te bootsen in de bolmeetkunde met zojuist genoemde driehoek.
Het is belangrijk dat, volgens de bedoelingen van Euclides, CF tussen CA en CD komt te liggen. Maar in de bolmeetkunde is dat niet het geval, dus die strookt op de een of andere manier niet met de bedoelingen van Euclides.
Hilbert heeft rond 1900 de meetkunde van Euclides gemoderniseerd. Hij heeft toen (volgens de door Euclides zelf niet geformuleerde bedoelingen van Euclides) axioma's toegevoegd, zoals het axioma dat zegt dat men tussen elk tweetal punten op een lijn een derde punt kan vinden. Dit geldt niet in de bolmeetkunde (omdat daar niet duidelijk is wat 'tussen' betekent), en daarmee is de elliptische meetkunde bij Hilbert gediskwalificeerd (in tegenstelling tot de hyperbolische meetkunde, maar dat is een ander verhaal).

Zie stelling 16 van Euclides boek 1

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 17 december 2004