WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Op hoeveel manieren kun je 16 unieke knikkers verdelen over 8 knikkerpotjes?

Hallo WisFaq-team,

Op hoeveel manieren kun je 16 unieke knikkers verdelen over 8 knikkerpotjes. Let op, dit kun je m.i. niet oplossen met variaties, combinaties of ander standaard geneuzel.

Namelijk je moet alle knikkers (of zoals in het voorbeeld letters) gebruiken. Voorbeeld:

Potje1: 1,2,3,4,5,6,7,8,9
Potje2: 10
Potje3: 11
Potje4: 12
Potje5: 13
Potje6: 14
Potje7: 15
Potje8: 16

Maar ook:
Potje1: 1,2,3,4,5,6,7,8
Potje2: 9,10
Potje3: 11
Potje4: 12
Potje5: 13
Potje6: 14
Potje7: 15
Potje8: 16

Of:
Potje1: 1,2,3,4,5,6,7
Potje2: 9,10
Potje3: 11
Potje4: 12
Potje5: 13,8
Potje6: 14
Potje7: 15
Potje8: 16

Er moet minimaal 1 knikker per potje liggen.

Ik heb mijn tanden er al twee avonden op stuk gebeten. M.b.v. een stukje c# code heb ik het antwoord, maar ik vraag me af of het ook m.b.v. een formule uit te schrijven is en met de rekenmachine uit te rekenen. Probeer nu te bewijzen dat het niet kan.
Jan
Student universiteit - zondag 12 december 2004

Antwoord

Als er niet minimaal 1 knikker in elk potje hoeft te liggen, is de uitkomst
SOM(k1+k2+..+k8=16: (16 over k1)(16-k1 over k2)(16-k1-k2 over k3)...)=
SOM(k1+k2+..+k8=16: 16!/(k1!k2!..k8!)).
Dit is gelijk aan 8¹⁶. Immers (x₁+x₂+..x₈)¹⁶=SOM(k1+k2+..+k8=16: (16!/(k1!k2!..k8!))x₁^k1..x₈^k8, vul nu in x₁=x₂=..=x₈=1.
O, ik zie nu dat dit eenvoudiger kan: kies voor elk van de zestien knikkers een potje.
Nu moeten we nog de verdelingen aftrekken waarbij k1=0 of .. of k8=0.
Met k1=0 is het aantal 7¹⁶. Idem voor k2=0, etc.
Echter, k1=0 $\wedge$ k2=0 moet weer opgeteld (2 keer afgetrokken), idem voor andere paren zoals bijvoorbeeld k3=0 $\wedge$ k5=0.
k1=0 $\wedge$ k2=0 $\wedge$ k3=0 wordt eerst driemaal afgetrokken, dan drie keer opgeteld, dus moet nog eens worden afgetrokken, etc.
We krijgen dan 8¹⁶-8·7¹⁶+(8 boven 2)·6¹⁶-(8 boven 3)·5¹⁶+(8 boven 4)·4¹⁶-(8 boven 5)·3¹⁶+(8 boven 6)·2¹⁶-(8 boven 7)

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 14 december 2004

Re: Op hoeveel manieren kun je 16 unieke knikkers verdelen over 8 knikkerpotjes?