WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Omtrek van een fractal (iets à la `sneeuwvlokje von Koch` ?)

Hallo,

Wij hadden in de klas een taak gekregen ivm rijen. Namelijk een soort sneeuwvlokje van Koch-achtig iets, maar dan met vierkantjes. Als volgt: je start met 1 vierkant met zijde 1.
In de tweede generatie komen er aan ieder (beschikbaar) hoekpunt vierkantjes bij met elke zijde 1/2, enzovoort, enzovoort.
Nu hebben we alles in klas opgelost - maar bij de limiet van de omtrek van de vierkantjes, was er geen rekening gehouden met het feit dat de zijden van de vierkantjes niet steeds dezelfde waren (en zo werd het op dezelfde manier als het sneeuwvlokje van Koch benaderd).
Dit hebben we de laatste les of zo gemerkt en er niet echt verder op ingegaan.
Nu heb ik zelf geprobeerd deze limiet te vinden, maar ik vroeg me wel af of deze juist is.
De rij van de lengten van de zijden:
1/2, 1/4, 1/8, ... == 1/2ⁿ
En deze rij vermenigvuldigd met 4 geeft de rij van de omtrek van de toegevoegde vierkantjes:
2, 1, 1/2, ... == 1/2^n-2
Deze rij nu maal de rij van het aantal toegevoegde vierkantjes:
1/2^n-2 * 4*(3^n-1)
Schrijf dit nu in de vorm van een meetkundige rij:
4 * 2/2^n-1 * 3^n-1
== 8 * (3/2)^n-1
Dit is de rij van de omtrekken. Nu moet ik de limiet van de partieelsommen van die rij bekijken:
De rij van de partieelsommen:
Sn = 8. ((3/2)ⁿ - 1) / ((3/2) - 1)
Even anders schrijven:
Sn = 16(3/2)ⁿ - 16
Nu kunnen we de limietoperator "doorschuiven" naar (3/2)ⁿ
Nu gaat die limiet naar +¥.
Dus gaat de rij naar +¥?

Heel erg bedankt op voorhand! Ik hoop dat ik juist zit ...

Vyncke
3de graad ASO - zondag 12 december 2004

Antwoord

Volgens mij is je oplossing correct.

Bij de sneeuwvlok van von Koch is de omtrek ook +¥ maar de oppervlakte gaat in de limiet naar 0,69282 (startend met z=1 hé).

Als je de oppervlakte van jouw fractaal zou berekenen, kom ik mooi op 5 uit.
Opp startvierkant (1) erbij en dan 4. Schijnbaar heeft elke tak startend op een hoekpunt van het startvierkant dus oppervlakte 1.

Frank

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 12 december 2004