WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Veranderen van ijk bij kegelsneden

Hallo!
Ik heb een vraagje voor jullie: Hoe moet je veranderen van ijk bij kegelsneden? Ik weet wel dat je dat projectief kan doen x=...+...h y=.. en z=.., maar je hebt toch ook bijvoorbeeld xy in je vergelijking van je kegelsnede! Hoe moet je dat dan doen?
Alvast bedankt,
Tamara
Tamara
3de graad ASO - dinsdag 7 december 2004

Antwoord

Hallo Tamara,
Als je z=1 neemt is de vergelijking van een kegelsnede herleid tot 2 onbekenden x en y.(cartesisch in loodrechte coordinaten werken).Het werk is dan wat simpeler.....
De algemene vgl. van een K is :
ax²+a'y²+a"z²+2byz 22b'xz+2b"xy=0 en met z=1
ax²+a'y²+a"+2by+2b'x+2b"xy=0
Met de formuled= aa'-b"² vinden we
11*14-2²=1500 en we moeten daarom een elliptische vorm zoeken.Nu volgen 2 bewerkingen en U zult merken dat de term in xy verdwenen is(de lineaire termen)

U moet een translatie en een rotatie uitvoeren met de volgende formules:
1.Translatie : gebruik de partiële afgeleiden van de Kegelsnede K en voor de rotatie gebruik je de volgende formules:
x=x'cosa-y'sina
y=x'sina+y'cosa met a als rotatiehoek

We nemen gewoon een voorbeeld:

K=F(x,y,1)=11x²-4xy +14y²+30x-60y+15=0 (1) met z=1
dF/dx= 22x-4y+30=0
dF/dy=-4x+28y-60=0 (patiêel afleiden naar x en y)
Oplossing van deze 2 lineaire vergelijkingen geeft
x0=-1 en y0=2

dus de oorsprong is nu versprongen van O naar O' ,van( 0,0)naar (x0,y0)= (-1,2)
We bekomen:
11x'²-4x'y'+14y'²+F(x0,y0,1)
=11x'²-4x'y'+14y'²+11(-1)²-4(-1)(2)+14(2)²+30(-1)-60(2)+15=0 en nu krijgen we K'na uitrekenen:
K':11x'²-4x'y'+14y²-60=0 (2)
De translatie is nu uitgevoerd.
2.Rotatie:met de formules komt er nu en de term in xy moet verdwijnen.

x'=x"cosa-y"sina
y'=x"sina+y"cosa (3)
("3) in (2) invullen geeft:
11(x"cosa-y"sina)²-4(x"cosa-y"sina)(x"sina+y"cosa)
+14(x"sina+y""cosa)²-60=0
(11cos²a-4sinacosa-2cos²)x"²+2(2sin²a+3sinacosa-2cos²a)x"y"
+(11sin²a+4sinacosa+14cos²a)y"²-60=0 (4)
Na uitwerken en vereenvoudigen komt er:
2sin²a+3sinacosa-2cos²a=0
2(sin²a-cos²a)+3sinacosa=0
4(sin²a-cos²a)+6sinacosa=0 (met 2 vermenigvuldigen)
-4cos2a+3sin2a=0 (zo kan je op dubbele hoek overgaan).

Daaruit zoeken we nu de waarde van sina en cosa:
1+tg²2a= 1+(16/9)=sec²2a en daaruit berekenen we de sina en de cosa.
sec²2a=25/9 en cos²2a=9/25
cos2a=3/5(1ste kwadrant cosa positief!)
en met tg2a*cos2a=sin2a bekomen we
sin2a=(3/5)*4/3)=4/5
Met de formules cos²a-sin²a=cos2a en daaruit 2cos²a-1=cos2a vinden we: 2cos²a-1=3/5 en 2cos²a =3/5+1=8/5 en cos²a=8/10=4/5]
we vinden dus cosa=+2Ö5/5 (5)
sina==Ö5/5 (+ teken met sina en cosa positief in eerst kwadrant.)
Als we nu (5) in (4) stoppen dan krijgen we de vergelijking van een Ellips.(na rekenen natuurlijk....)
2x"²+3y"²=12 of en na weglaten van de accenten hebben we dus x²/6+y²/4=1 en de term in xy is verdwenen.
De rotatiehoek is dus:a=26°33'54"(uit cosa=2Ö5/5odf sina=Ö5/5)
Zo ziet U maar dat bij analytiscghe meetkunde heel wat algebra en goniometrie komt kijken.
NOTA. z=1 stellen wil dus zeggen dat we in cartesische coördinaten werken en F(x,y,z)=0 wordt dan F(x,y,1)=0.Dit had ik in het begin reeds gesteld.
Ik hoop dat ik U heb kunnen helpen.
Groeten van Hendrik.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 9 december 2004