WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Evaluatie-afbeeding

Dit is een reactie op vraag 29971

Hallo kphart,

Deze vraag is van twee weken geleden, toch hoop ik dat u mij met deze vraag verder kunt helpen.

Bewijs van links naar rechts.
Stel f is een ringhomomorfisme, dan geldt het volgende,
Zij g=som{a_nx^n} en h=som{b_nx^n) (met n=0 tot oneindig),
en g+h=som{c_nx^n} met c_n=a_n+b_n en g*h=som{d_nx^n} met d_n=som_{i=0 tot n} {a_i*b_(n-i)}.Dan,

1.f(g+h)=som{c_na^n} en f(g)+f(h)=som{c_na^n}, dus f(g+h)=f)g)+f(h)
2.f(gh)=som{d_na^n} en f(g)*f(h)=som{a_na^n}*som{b_na^n}=som{d_na^n}
3.f(1)=1 , het constante polynoom 1 wordt naar 1 gestuurd.
vraag1.Maar ik begrijp nu niet hoe je m.b.v. deze informatie kunt bewijzen dat voor a geldt dat ar=ra voor alle r in R.

vraag2. bewijs van r naar l.
Als a in Z(R) dan begrijp ik niet hoe daar uit volgt dat f een ringhom is.

Vriendelijke groeten,Viky
viky
Student hbo - vrijdag 3 december 2004

Antwoord

Wat je in je eigen punt 2 hebt opgeschreven klopt alleen als a in Z(R) zit; kijk terug naar de eenvoudige gevallen. Met jouw letters: g = a_1X+a_0 en h=b_1X+b_0 dan gh=a_1b_1X^2+(a_1b_0+a_0b_1)X+a_0b_0, dus, inderdaad, f(gh)=a_1*b_1*a^2+(a_1*b_0+a_0*b_1)a+a_0*b_0=d_2a^2+d_1a+d_0. Echter, f(g)*f(h)=(a_1a+a_0)*(b_1a+b_0) = a_1*a*b_1*a+a_1*a*b_0+a_0*b_1*a+a_0*b_0. Dit ziet er in ieder geval niet uit als f(gh); als a niet in Z(R) zit kun je een r vinden met r*a ongelijk aan a*r. Neem nu a_1=b_1=1, a_0=1 en b_0=r, dan volgt f(gh)=a^2+r*a+a+r en f(g)*f(h)=a^2+a*r+a+r en dus is f(gh) ongelijk aan f(g)*f(h). Met andere woorden: als a niet in Z(R) zit is f geen homomorfisme (dit beantwoord vraag 1).

Wat vraag 2 betreft: wat je bij je eigen opmerking 2 hebt opgeschreven geldt in ieder geval als a in Z(R) zit want dan mag je van iets als a_1*a*b_1*a gewoon a_1*b_1*a^2 maken. Dan geldt ook dat f een homomorfisme is.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 8 december 2004