WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Verzameling toppen

De toppen van de parabolen y=x²-2px liggen op de parabool y=-x². Dit kun je als volgt bewijzen.
[x² - 2px]'=0 geeft 2x-2p=0 dus Xtop=p invullen van x=p in y=x²-2px geeft Ytop=-p²
De toppen liggen op de parabool y=-x²
Op soortgelijke manier kun je bewijzen dat de toppen van de grafieken van fp(x)=x²+px ook op een parabool liggen

Opdracht:
-op welke parabool liggen de toppen van de grafieken van
fp(x)= x²+px?
-Leid af op welke kromme de toppen liggen van de grafieken van fp(x)=x³+px²
-illustreer het bovenstaande met grafieken
-Bedenk zelf nog enkele tweede- en derdegraadsfuncties fp
waarbij de verzameling toppen een rechte of kromme lijnn vormen en geef de formule die bij deze verzameling hoort. Illustreer je bevindingen met grafieken.
-Onderzoek of ook bij andere functies de toppen van de grafieken een verzameling vormen waarvan je een formule kunt opstellen. Illustreer de gevonden situaties met grafieken

Ik kan helemaal niks beginnen met deze opdracht!
zou iemand mij kunnen helpen!

Groeten en Alvast Bedankt
Rico
Iets anders - donderdag 2 december 2004

Antwoord

* Bereken met behulp van de afgeleide de x-waarde van de top.
* Wat is de y-waarde van de top?
* Elimineer de parameter p uit x en y, dwz zoek het verband tussen x en y waarin p niet meer voorkomt (bijvoorbeeld door de uitdrukking van x of y op te lossen naar p en die waarde in de andere (y of x) te stoppen)

Als extra voorbeeld los ik de opgave fp(x)=x^3+px^2 op
De toppen voldoen aan fp'(x)=3x²+2px=0 en zijn dus

x=0 - y=0
=(0,0)

x=-2p/3 - y=4p³/27
= p=-3x/2
= y=4(-3x/2)³/27=-x³/2

De toppen liggen dus op y=-x³/2 en ook de eerder gevonden (0,0) ligt daarop, dus die moeten we niet apart vermelden.

Maak een grafiek van deze functie en, in dezelfde grafiek, fp(x) voor enkele waarden van p, waaruit duidelijk blijkt dat de gevonden kromme inderdaad steeds door de toppen van fp(x) gaat.

De andere opgaven moet je nu wel zelf kunnen...

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 2 december 2004