WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Kortste pad probleem

Dit is een reactie op vraag 30661

Het pad zal dus lopen van P naar een raakpunt met de bol, dan even over de bol lopen, de bol verlaten tot het de cilinder raakt om dan over de cilinder te lopen tot zijn eindpunt. De toepassing is de volgende : een spierbundel loopt van schouderblad naar bovenarmbeen. Dit kan niet rechtstreeks gebeuren aangezien het schoudegewricht en eventueel het bovenarmbeen zelf in de weg zitten. Hopelijk brengt dit verduidelijking, anders geef je maar een seintje.

Groetjes en dank
amaryl
Docent - dinsdag 30 november 2004

Antwoord

OK, dus je moet van P eerst naar een punt op de bol, dan eventueel een stukje over de bol lopen, en dan van die bol weer door de ruimte naar de cilinder, en vandaar naar punt Q.
Tja, dat is wel een stuk ingewikkelder.
Er zijn nu veel meer vrijheden.
Je kunt er een (niet lineair) optimalisatieprobleem met zes parameters van maken.
Ik kies de as van de cilinder verticaal.
Twee parameters voor het eerste contactpunt met de bol:
A(r₁·cos($\theta$₁)·cos(j₁), r₁·cos($\theta$₁)·sin(j₁), r₁·sin($\theta$₁))
Twee parameters voor het laatste contactpunt met de bol
B(r₁·cos($\theta$₂)·cos(j₂), r₁·cos($\theta$₂)·sin(j₂), r₁·sin($\theta$₂))
Twee parameters voor het eerste contactpunt met de cilinder
C(r₂·cos(j₃), r₂·sin(j₃), z)

Je kunt dan de totale lengte van het pad uitdrukken in deze zes parameters, en dat vervolgens minimaliseren, onder bepaalde restricties.
De afstand van P tot A is de gewone afstandsformule van twee punten.
De afstand van A tot B (over de bol) is gelijk aan r₁ maal de hoek van de vectoren A en B, en deze hoek bereken je met de formule arccos(inproduct(A, B)/r₁²).
De afstand van B tot C is weer de gewone afstandsformule.
De afstand van C tot Q is te berekenen met de stelling van Pythagoras over de uitgerolde cilinder.
De restricties van het probleem zijn gelegen in het feit dat elk van de verbindingslijnstukken PA en BC helemaal vrij in de ruimte moeten liggen, dus niet dwars door de bol of de cilinder mogen gaan.
Voor concrete waarden van P, Q, r₁ en r₂ is dit wel op te lossen (numeriek), maar ik betwijfel of er een bruikbare algemene formule te vinden is.
Wel leuk dat het om zo'n concrete toepassing gaat!
Ik hoop dat je wat aan hebt.
groet,

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 1 december 2004

Re: Re: Re: Kortste pad probleem