WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bewijs dat uitspraken gelijkwaardig zijn

hoi!

V is een vectorruimte. Bewijs dat de volgende uitspraken gelijkwaardig zijn;
* {v1,...,vn} is een basis van V.
* Ieder element uit V is éénduidig te schrijven als c1v1+...+cnvn met ci Î.
* {v1,...,vn} is een volledig stelsel voor V en voor iedere 1in is {v1,..,vi,..,vn} géén volledig stelsel voor V. (er moet een Ùop de vi)

Elke uitspraak begrijp ik wel maar hoe kan ik het verband tussen de uitspraken bewijzen? Zou iemand mij op weg willen helpen?

Veel liefs
Amy
Amy
Student hbo - maandag 29 november 2004

Antwoord

Als de vectoren v1, v2, ...., vn een basis vormen, dan wil dat zeggen dat elke vector is uit te drukken als lineaire combinatie van deze vectoren. Stel nu dat een bepaalde vector v op meer dan een manier te schrijven is als lineaire combinatie.
Dan is c1v1 + c2v2 + ..... cnvn = d1v1 + d2v2 + ..... + dnvn waaruit volgt (c1-d1)v1 + (c2-d2)v2 + ..... + (cn-dn)vn = 0
Vanwege het basis-zijn van de vectoren v1 t/m vn moeten nu alle coëfficiënten 0 zijn, ofwel c1 = d1, c2 = d2 enz.
De schrijfwijze is dus eenduidig.

Om van je tweede opmerking naar de eerste te komen: je moet aantonen dat de vectoren v1 t/m vn lineair onafhankelijk zijn. Uit c1v1 + c2v2 + .... + cnvn = 0 moet je dus kunnen concluderen dat c1 = c2 = ..... = cn = 0
Als dat niet het geval zou zijn, dan is bijvoorbeeld c1 ¹ 0.
Dan is v1 = (-c2/c1)v2 + ..... + (-cn/c1)vn
Ook geldt v1 = 1.v1 + 0.v2 + 0.v3 + .... + 0.vn en omdat volgens je tweede opmerking de schrijfwijze eenduidig is, zal nu moeten gelden dat -c2/c1 = 0 en -c3/c1 = 0 enz.
Dan is dus c2 = c3 = .... = cn = 0 en dan ook c1 = 0.
Daarmee is de onafhankelijkheid van de vectoren c1 t/m cn aangetoond, en dus is het een basis.

Wat je met de derde opmerking wilt, weet ik niet. Wat bedoel je met vi met een ^ erop? Maar misschien ben je nu alweer een stukje verder?

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 1 december 2004