WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Meetkundige plaats

Bepaal de meetkundige plaats van de middens van de koorden van een cirkel C(c,r) waarvan de dragers door een gegeven punt p gaan. Nu deze vraag hebben we opgelost met een loodrechte op (met o het midden vd cirkel). Dit komt dan een eenvoudige eliminant uit en de correcte oplossing.

Dit zou ook moeten op te lossen zijn door het midden te nemen. Ik had dus de twee snijpunten met de cirkel r en s genoemd zodat r(x1,y1) en s(x2,y2) zijn. met voor beide x²+y²=r². het mi is dan ook te bepalen en de vgl van pr ook waarvan s een element moet zijn.
Zo krijgen we slechts drie vgl voor vier onbekenden, dus is deze methode onmogelijk??

dan heb ik een tweede keer geprobeerd
rp: y=µx+a (met p(a,o) en µ de veranderlijke) en de vergelijking v cirkel met m in o.
de vgl vd rechte heb ik vervolgens in die vd cirkel gestoken
wat een vierkantsvgl geeft en daarvan neem ik dan de som van de 2 opl, nl b/a (ipv deze vlg uit te werken, we hebben toch het midden nodig) en de opl zou dan b/2a moeten zijn wat µa/1+µ² geeft. Dit zou dan de x moeten zijn??? en hoe dan aan de y geraken nu er nog steeds een parameter in zit..

die tweede methode is vergezocht, maar zijn deze methodes gwn onmogelijk?

bedankt
Ine
3de graad ASO - zondag 14 november 2004

Antwoord

Jouw tweede methode:

y=µx+a is een rechte die door (0,a) gaat, niet door (a,0), maar dat maakt natuurlijk niet uit voor de rest van de afleiding.

Substitueren in x²+y²=1 levert:

x² + (µx+a)² = 1
x² + µ²x² + a² + 2aµx = 1
x²(1+µ²) + x(2aµ) + (a²-1) = 0

Op die manier is de x-coordinaat van het midden, zoals je zelf al had gevonden, gelijk aan aµ/(1+µ²)

Een manier om de y-waarden te vinden die weinig moeite kost, is de vergelijking van de rechte te schrijven in termen van x en opnieuw te substitueren

y=µx+a ® x = (y-a)/µ
(y-a)²/µ² + y² = 1
(y-a)² + µ²y² = µ²
y² - 2ay + a² + µ²y² = µ²
y²(1+µ²) + y(-2a) + (a²-µ²) = 0

zodat de y-coordinaat van het midden gelijk is aan -a/(1+µ²)

Met elke waarde van µ komt een punt van de meetkundige plaats overeen. Willen we het achterliggende verband tussen x en y, dan moeten we µ elimineren. Lukt dat?

Jouw eerste methode:

Hierbij vertrek je van 3 niet-lineaire vergelijkingen

x1²+y1² = 1
x2²+y2² = 1
a-y1 = (-x1)(y2-y1)/(x2-x1)

Maar daar zijn we niet meteen iets mee: uiteindelijk willen we een verband tussen de coordinaten x0 en y0 van de middens, en die kunnen we hier niet direct uithalen. Wat je wel zou kunnen is in plaats van te vertrekken van 2 punten op de cirkelomtrek, uitgaan van 1 punt op de cirkelomtrek en een ander punt dat het midden voorstelt.

In plaats van te werken met (x1,y1) en (x2,y2) nemen we dus (x1,y1) en (x0,y0) waarbij het volgende verband natuurlijk blijft gelden

x0 = (1/2)(x1+x2)
y0 = (1/2)(y1+y2)

of opgelost naar x2 en y2

x2 = 2x0-x1
y2 = 2y0-y1

Stop die laatste vergelijkingen in de 3 niet-lineaire

x1²+y1² = 1
x0²+x0x1 + y0²+y0y1 = 0
a-y1 = -y0x1/x0

In principe is het mogelijk om x1 en y1 uit deze vergelijkingen te elimineren en zo een verband tussen x0 en y0 over te houden, maar dat is duidelijk niet zo triviaal en ik heb er mij dan ook niet lang aan gewaagd

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 14 november 2004