WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Eeuwig leven

Dit is een reactie op vraag 6668

In de Binas wordt er gepraat over halveringstijd. Klopt het dat de stof dan dus nooit helemaal weg is?
Bas
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 11 oktober 2004

Antwoord

Hoi Bas,

Vergelijk het met een cake die je de eerste keer in tweeën deelt. Daarna de twee stukken weer halveert, zodat je er vier hebt. Je krijgt dan als je alle stukken weer halveert 2 keer zoveel stukken als de vorige keer.
Algemeen heb je vóórdat je ging delen 2^k stukken (k natuurlijk getal), en nadat je gedeeld hebt 2^k+1 stukken. Als je één van de gesneden stukken na k keer gedeeld te hebben beschouwt, dan is dat gedeelte ¹/_2^k-ste van de oorspronkelijke cake. [Dus als je één keer gedeeld hebt, dan is één stuk de helft van de oorspronkelijke. Als je de twee stukken nogmaals deelt, krijg je 4 stukken dus is één stuk ¹/₄ van de oorspronkelijke, etc].

Zetten we de totale stukken in een formule dan krijgen we aantal stukken = 2^{aantal keren gesneden} (waarbij gesneden wil zeggen alle vorige stukjes gehalveerd).
Dus t.o.v. de oorspronkelijke cake is één stuk ¹/_{2^{aantal keren gesneden}}.

Je zult wel begrijpen dat als je enorm vaak snijdt er enorm veel stukken cake zullen zijn, én dat elk stukje enorm klein is vergeleken met de begintoestand.
Je hebt op het einde kruimeltjes die je dan ook nog moet gaan opdelen, waardoor er nog meer kruimeltjes ontstaan, enz. Je zult op een gegeven moment (zo'n gegeven moment bestaat, want je kunt niet oneindig lang doordelen) moeten stoppen want je kunt niet meer precies doordelen daarvoor zijn de stukken te klein (onder een microscoop zou 't nog wel lukken, maar daar geldt weer hetzelfde na een eindig aantal delingen, ...).

Dus er zal in de werkelijkheid nog wat cake aanwezig zijn (na een eindig enorm aantal keren delen), maar dat iets is zo enorm klein dat je 't met de beste apparatuur niet meer kan zien (Laat de vraag 'Hoe heb je die situatie dan bereikt?' om praktische redenen maar achterwege). Vandaar dat we zeggen: de limiet voor k gaande naar oneindig 'is' 0 voor het gedeelte van de oorspronkelijke cake (die bestaat dan niet meer), en het aantal stukken is dan oneindig. (Nogmaals het woord 'oneindig' is een wiskundig verzinsel om aan te geven dat iets onbeperkt toeneemt en is dus niet iets wat in de werkelijkheid voorkomt, onze tijd is eindig. Maar je kunt je wel een beeld vormen wat er zou gebeuren mocht je oneindig doorgaan, en dat is precies wat je voor ogen moet houden bij limieten).

Ik hoop dat het zo wat duidelijker is geworden.

Groetjes,

Davy.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 12 oktober 2004