WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Transcendente algemene oplossingen van polynoomvergelijkingen

ik heb ergens gelezen dat er een formule is uitgevonden voor alle vergelijkingen. Dus er is nu wel een formule voor 5degraadsvergelijkingen en hoger?

Kijkt u maar eens hier:
http://arxiv.org/ftp/math/papers/0408/0408264.pdf

Algebr
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 9 september 2004

Antwoord

De schrijver van uw artikel verwijst naar een ander artikel met de titel 'On the transcendental solution of algebraic equations'.

Er is een verschil tussen transcendente algemene oplossingen van een polynoomvergelijking en algebraische algemene oplossingen. Ik geef toe dat dat verwarrend is, want een oplossing van een polynoomvergelijking met gehele coefficienten is per definitie algebraisch. Maar het gaat hier om een algemene oplossing.

Bij het algebraisch oplossen gaat het er om, de oplossingen van de algemene vergelijking uit te drukken in de onbepaalde coefficienten met behulp van wortelvormen.

Voor graad 1 is het heel eenvoudig: de oplossing van aX+b=0 is X=-b/a. Voor graad 2 kan het ook: de bekende a,b,c-formule. En voor graad 3 en 4 kan het ook nog: de formules van Cardano e.a.

Men moet hierbij alleen (een eindig aantal keren) optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken.

Bij transcendente oplossingen gaat men ook machtreeksen gebruiken. De 'oplossingen' worden dan wel erg ingewikkeld. Men 'vindt' ze pas na een oneindig aantal stappen. Dat is dus niet waar de wiskundigen door de eeuwen heen naar gezocht hebben.

Evariste Galois heeft in de eerste helft van de negentiende eeuw bewezen dat er voor elke gegeven graad groter dan 4 geen algebraische algemene oplossing bestaat. Zoek Galois maar eens op in de encyclopedie of op het web. Zijn biografie is bijzonder interessant.

Het door u genoemde artikel gaat echter over transcendente algemene oplossingen van polynoomvergelijkingen.

Er bestaat kennelijk wel een transcendente algemene oplossing, als de schrijver van uw artikel zich niet vergist heeft. Toch wel knap.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 9 september 2004