WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Rij van originelen en beeldrij / Continuiteit

Dit is een reactie op vraag 26418

ik snap het , ge moet een rij vinden da naar het te onderzoeken punt convergeert en das dan de rij van de originelen die ge moet invoeren in u functie en das de beeldrij ; de limiet van die beeldrij moet gelijk zijn aan de functiewaarde van het te onderzoeken punt ?

maar nu heb ik nog een gevalletje
dubbel voorschrift :
f(x) = sin ( 1/x) als x¹0
= 0 als x=0 onderzoeken punt is 0

ik heb dus een rij ( 1 / n²) die naar 0 convergeert , maar de sinus is een periodieke functie : die convergeert toch naar nergens ? hoe gaat ge daarbij dan te werk? Heeft het iets te maken met die insluitstelling, al heb ik die nooit goe gesnapt.
Dirk
3de graad ASO - zaterdag 7 augustus 2004

Antwoord

Je hebt het inderdaad blijkbaar gesnapt

Deze oefening is wel wat lastig, omdat de sinus niet convergeert. Maar het feit blijft: als de limiet van een beeldrij niet de juiste waarde is, heb je geen continuïteit.

In dit geval is die limiet zelfs niet gedefinieerd. Immers, je kan de (naar 0 convergerende) volgende rij bekijken:

1/$\pi$, 1/(2$\pi$), 1/(3$\pi$), 1/(4$\pi$), 1/(5$\pi$),...

Die nadert naar 0.

De beeldrij is dan: 0,0,0,...
Dat lijkt dus goed te zitten.

Maar een andere rij, die even goed naar 0 convergeert, is:

1/($\pi$/2), 1/(2$\pi$+$\pi$/2), 1/(4$\pi$+$\pi$/2), 1/(6$\pi$+$\pi$/2),...

De beeldrij is dan: 1,1,1,...
Dat convergeert naar 1, dus dat is niet de juiste waarde. Hieruit kan je concluderen dat je geen continuïteit hebt.

De rij die je voorstelde, 1/n², convergeert inderdaad naar 0. De beeldrij echter, convergeert helemaal niet. Eigenlijk kan je daaruit al besluiten dat de limiet niet bestaat. Al is het wel 'veiliger' om te werken met rijen waarvan je het beeld eenvoudig kan bepalen (zoals met die $\pi$), omdat je dan snel kan zien of er een limiet is, en zoja, dewelke. Want wie zegt dat de beeldrij van 1/n² toevallig om één of andere vreemde reden niet convergeert?

Trouwens, als je die functie sin¹/_x eens plot op een grafisch rekenmachine of zo, dan kan je snel de twee rijen zien die ik hier gegeven heb (het zijn respectievelijk de nulpunten en de maxima), en dan zie je ook dat voor elke waarde 't' van -1 tot 1, er een rij bestaat waarvoor de beeldrij convergeert naar t.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 7 augustus 2004