WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Rationale getallen

Dit is een reactie op vraag 26410

Hallo Christophe,

Heel erg bedankt voor de uitleg.Alles was duidelijk.
Graag wilde ik nog weten hoe je bewijst dat voor elke e0 er oneindig veel rationale p/q bestaan zodat

|a-p/q| 1/[(sqrt(n^2+4)-e)q^2]

Ik zou het misschien aan de hand van het andere bewijs zelf moeten kunnen.Maar ik zie niet hoe ik dat zou moeten doen.Zou je mij misschien daarmee kunnen helpen?

Ik heb toch nog een vraag over de kettingbreukontwikkeling van het getal x=(1/2)(n+sqrt(n^2+4)). Ik heb zelf het volgende:

Als n voldoende groot is dan verschilt sqrt(n^2+4)niet zo veel van n.Dit verschil is

sqrt(n^2+4)-n=[sqrt(n^2+4)-n]*[sqrt(n^2+4)+n]/
[sqrt(n^2+4)-n]
=n^2+4-n^2/[sqrt(n^2+4)+n]
=4/[sqrt(n^2+4)+n]

Iemand heeft mij uitgelegd dat 4/[sqrt(n^2+4)+n] bij benadering gelijk is aan 2/n want, 4/[sqrt(n^2+4)+n] ligt tussen 4/(2n) en 4/[2sqrt(n^2+4)]. Dit laatste begrijp ik niet. Voor de rest begrijp ik wel dat x=[n,n,...].

Groeten,

Viky
viky
Student hbo - vrijdag 6 augustus 2004

Antwoord

Dag Viky,

Voor de eerste vraag (met die -e) zal je de stelling van Hurwitz (deel i)) moeten vertalen naar het specifieke geval dat je met het getal [n,n,n,...] werkt. Je zal voor het bewijs daarvan weer moeten steunen op de Stelling 1, althans op een variant daarvan, namelijk:

"Stelling1. Zij a het reëel getal [m,m,m,...] en n een nat. getal en n=2. Stel p_n-2/q_n-2, p_n-1/q_n-1, p_n/q_n, zijn drie opeenvolgende convergenten van a. Dan voldoet tenminste een van hen aan

|a-p/q| 1/(q^2*sqrt(m²+4)) "

Hoe je dit dan weer moet bewijzen weet ik niet direct, allicht een analoog bewijs als dat voor Stelling 1, of was dat gewoon een gegeven feit? Enfin, eens je dat hebt weet je dat er oneindig veel rationale getallen zijn waarvoor geldt:

Er bestaan oneindig veel verschillende rationale getallen p/q met |a-(p/q)| 1/[sqrt(m²+4)*(q^2)]

En dus ook:
Er bestaan oneindig veel verschillende rationale getallen p/q met |a-(p/q)| 1/[(sqrt(m²+4)-e)*(q^2)]
voor elke e.

Je tweede vraag: dat n en Ö(n²+4) weinig verschillen zie je meteen: voor grote n maakt het +4 gedeelte heel weinig uit, dus staat er bijna Ö(n²), dus n zelf. Als je het wil uitrekenen komt het verschil inderdaad op
4/(Ö(n²+4)+n)
En dit gaat duidelijk naar 0 als n naar oneindig gaat, of anders gezegd: voor grote n wordt het verschil klein.
Dus je moet niet gaan werken met die 4/(2n) en zo, en dat afschatten.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 7 augustus 2004