WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Priemgetallen

Hallo team wisfaq,

Ik wil graag bewijzen dat er een constante C1 bestaat zodat kgv(1,2,...,n) = C^n voor n=2. Ik weet dat ik kan schrijven,

kgv(1,2,...,n)=PRODUCT[p^b], product wordt genomen over alle priemgetallen p=n.

Ik denk dat ik daarbij gebruik kan maken van de volgende stellingen/lemma's:

(ik gebruik voor n!/k!(n-k)!, n boven k, de notatie (n:k))
1.De rij van priemgetallen is oneindig (p_1=2p_2=3...p_n...) en er geldt p_n = 2^(2^(n-1)) voor n=1,2,...
2.(1/2)x/logx pi(x) 4x/logx
3.Voor elk natuurlijk getal geldt PRODUCT[p] 4^n, het product wordt genomen over alle priemgetallen p = n.
4.Voor elk natuurlijk getal geldt 2^(2n)/2n = (2n:n) 2^(2n).
5.Stel p^b|(2n:n) voor zeker priemgetal p, dan is p^b =2n.

Zou u mij misschien verder kunnen helpen?

Vriendelijke groeten end dank,

Viky
viky
Student hbo - vrijdag 30 juli 2004

Antwoord

Hallo Viky,

Ik zie niet direct in hoe je dat kan bewijzen, gebruik makend van die opgegeven eigenschappen. Bijvoorbeeld, eigenschap 3 zegt dat het product van priemen kleiner is dan..., maar om er iets mee te kunnen doen zou dat groter moeten zijn. En van de rest kan ik ook niet al te veel maken.

Een beetje zoeken op internet leidt tot volgende conclusies:
1. kgv(1,..,n) 2ⁿ voor n minstens 7 (link) Het bewijs maakt gebruik van ontwikkeling van een integraal: x^m-1(1-x)^n-m voor m gaande van 1 tot n, en integreren tussen 0 en 1. Meer informatie over dat bewijs heb ik echter niet gevonden.

2. kgv(1,..,n) 2^n-1 voor n minstens 120. Lagere gevallen zijn met de hand te checken. Die -1 wil je natuurlijk niet, maar vermits voor grote n geldt dat 2^n-1 (1,9)ⁿ, is dat ook geen probleem. Dat bewijs is te vinden op deze link, en het is best wel te volgen. Het is alleen niet zo proper opgeschreven. Als je het wil begrijpen en je hebt er problemen mee, reageer je maar.

3. Zoals hier te zien is, geldt dat Y(n) asymptotisch nadert tot n. Met Y(n) is de logaritme van het kgv van de eerste n getallen. (vergelijkingen nrs 6 en 8). Dus kgv(1,..,n)~eⁿ. Dit kan je weliswaar niet gebruiken voor de opgave, maar het betekent wel dat je het volgende kan beweren:
"C met 1Ce $ n₀Î: kgv(1,2,...,n) Cⁿ voor nn₀.
En dat is toch ook al mooi...

Ik hoop dat je er iets mee bent. Als je het toch wil bewijzen met de eigenschappen die je in je vraag opgaf, zou wat meer informatie misschien wel handig zijn.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 31 juli 2004