WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Snijpunt bepaling van een lijn in de ruimte met een gekromd vlak

Dit is een reactie op vraag 25924

Hallo Guido,

Was het maar zo makkelijk.
Het invullen van de vector voorstelling van een lijn in de torus formule gaat helaas niet even.

Dus ik heb (p-Ö(x²+y²))²+(z-q)²=r²
voor x kan ik schrijven x=a_x+l(b_x-a_x)
voor y kan ik schrijven y=a_y+l(b_y-a_y)
voor z kan ik schrijven x=a_z+l(b_z-a_z)

Wanneer ik x,y,z in de formule torus substitueer hou ik in principe alleen nog l over als onbekende, de rest weet ik namelijk.

Met behulp van Derive kom ik tot een leuke formule. Hier van wil ik een formule l=..... verkrijgen. Maar na een nachtje de computer laten ratel heb ik nog niets.

Luk dit jou misschien?

Mvg.

Danny de Graaf

Danny
Iets anders - donderdag 8 juli 2004

Antwoord

Hoi Danny,

dit wordt inderdaad al gauw een formule-brei, met al die parameters die erin voorkomen. Het probleem zit hem na invullen van de parameter-voorstelling van de lijn natuurlijk vooral in de wortel. Om het schrijfwerk wat te beperken werk ik hier uit wat je daarmee doet voordat ik l erin invul:
p²-2pÖ(x²+y²)+x²+y²+(z-q)²=R²
de wortel isoleren en kwadrateren:
(p²+x²+y²+(z-q)²-R²)²=4p²(x²+y²)²
Het is nu vrij duidelijk dat je een vierdegraads vergelijking voor l krijgt als je de parametervoorstelling van de lijn hier invult. Dat klopt ook, want je verwacht maximaal 4 oplossingen te kunnen vinden. Nu is de oplossing van een algemene vierdegraads-vergelijking nog wel in een expliciete formule weer te geven, maar dat beslaat dan enkele pagina's, dus of je daar nu zoveel aan hebt? Het ligt meer voor de hand om de oplossingen numeriek te bepalen na invullen van getallen voor de verschillende parameters. Heb je echt een algemene formule voor l nodig of ben je alleen geinteresseerd in de oplossing voor specifieke gevallen?
Met vriendelijke groet,

Guido Terra

N.B. Je zou overigens zonder beperking van algemeenheid kunnen beginnen met het slim kiezen van je coordinaten:
in het midden van de torus, dan is dus q=0.
met geschaalde lengte t.o.v. de straal van de ring, zodat p=1.
de y-as parallel met de lijn gedraaid, zodat x_a=x_b.
de punten A en B zo gekozen dat y_a=0, y_b=1.

Dan heb je alleen nog de vier parameters x_a, z_a, z_b en R over, dat spaart alweer flink wat schrijfwerk. Maar dat maakt het probleem zelf natuurlijk nog niet makkelijker...

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 9 juli 2004